猜想

zYr

运算 由1开始，乘以3加1，得到一个数X1,再用X1加开始的数,得到Y1； 由Y1开始，乘以3加1，得到一个数X2，再用X2加开始的数，得到Y2； ．．． 由Yn开始，乘以3加1，得到一个数X(n+1)。 猜想：X1,X2,...,X(n+1)是2的顺偶次幂。 如： 1*3+1=4=2²，4+1=5 5*3+1=16=2⁴，16+5=21 21*3+1=64=2⁶，64+21=85 85*3+1=256=2⁸，256+85=341 341*3+1=1024=2¹⁰ ．．． 原创

gxqcn

很简单，相当于： 已知：$X_0 = Y_0 = 1, \ {(X_i = 3Y_{i-1} + 1,\ ... ...(1)),(Y_i = X_i + Y_{i-1},\ ... ...(2)) :}\ (i in NN)$ 求证：$X_i = 2^{2n}$ 证明：由（2）得，$Y_{i-1} = Y_i - X_i$ 　　　代入（1）得，$3Y_i = 4X_i - 1$ 　　　将（2）x3，代入上式，得，$4X_i - 1 = 3X_i + (4X_{i-1} - 1)$ 　　　化简，得 $X_n = 2^2X_{n-1} = 2^4X_{n-2} = ... = 2^{2n}X_0 = 2^{2n}$（易得 $Y_n = \frac {2^{2n+2}-1}{3}$） 　　　证毕。

sunwukong

用数学归纳法： g(0)=1 f(n)=g(n-1)*3+1 g(n)=f(n)+g(n-1) 求证 f(n)=2^(2*n) 当 n = 1 时 f(1)=g(0)*3+1=1*3+1=4=2^(2*1) 成立 假设 f(n)=2^(2^n) 成立 f(n+1)=g(n)*3+1 =(f(n)+g(n-1))*3+1 =3*f(n)+1+3*g(n-1) =3*f(n)+1+3*( f(n-1)+g(n-2) ) =3*(f(n)+f(n-1))+1+3*g(n-2) …… =3*(f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…f(1))+1+3*g(0) =3*(2^(2*n)+…+2^4+2^2)+1+3*1 =2^(2*(n+1))