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[原创] 猜想

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发表于 2008-9-13 10:19:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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运算
由1开始,乘以3加1,得到一个数X1,再用X1加开始的数,得到Y1;
由Y1开始,乘以3加1,得到一个数X2,再用X2加开始的数,得到Y2;
...
由Yn开始,乘以3加1,得到一个数X(n+1)。
猜想:X1,X2,...,X(n+1)是2的顺偶次幂。

如:
1*3+1=4=224+1=5
5*3+1=16=2416+5=21
21*3+1=64=2664+21=85
85*3+1=256=28256+85=341
341*3+1=1024=210
...

原创
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-9-13 10:56:22 | 显示全部楼层
很简单,相当于:
已知:$X_0 = Y_0 = 1, \  {(X_i = 3Y_{i-1} + 1,\  ... ...(1)),(Y_i = X_i + Y_{i-1},\  ... ...(2)) :}\  (i in NN)$
求证:$X_i = 2^{2n}$

证明:由(2)得,$Y_{i-1} = Y_i - X_i$
   代入(1)得,$3Y_i = 4X_i - 1$
   将(2)x3,代入上式,得,$4X_i - 1 = 3X_i + (4X_{i-1} - 1)$
   化简,得 $X_n = 2^2X_{n-1} = 2^4X_{n-2} = ... = 2^{2n}X_0 = 2^{2n}$(易得 $Y_n = \frac {2^{2n+2}-1}{3}$)
   证毕。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-9-13 11:07:59 | 显示全部楼层
用数学归纳法:

g(0)=1
f(n)=g(n-1)*3+1
g(n)=f(n)+g(n-1)

求证 f(n)=2^(2*n)

当 n = 1 时
f(1)=g(0)*3+1=1*3+1=4=2^(2*1) 成立

假设 f(n)=2^(2^n) 成立

f(n+1)=g(n)*3+1
      =(f(n)+g(n-1))*3+1
      =3*f(n)+1+3*g(n-1)
      =3*f(n)+1+3*(  f(n-1)+g(n-2)  )
      =3*(f(n)+f(n-1))+1+3*g(n-2)
      ……
      =3*(f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…f(1))+1+3*g(0)
      =3*(2^(2*n)+…+2^4+2^2)+1+3*1
      =2^(2*(n+1))
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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