求 n! / ( (n-1)!! ^2) 的极限

liangbch

说明： 　　n! 表示n的阶乘，n!= 1*2*3*4 * ... n 　　n!! 表示n的双阶乘，当n为奇数，n!!= 1*3*5*7 * ... n；当n为偶数，n!!= 2*4*6*8 * ... n 　　我的问题，当n为偶数时，当n趋于无穷大时，n! / ((n-1)!! ^2) 的极限 实验表明：当 n>=48 时, n! / ((n-1)!! ^2) 的上限为 1.26*sqrt(n)，一个可能的下限为 1.25*sqrt(n)。 我试图用数学归纳法证明 比它更弱的命题，n! > ((n-1)!! ^2) * sqrt(n) 但遭遇失败。

mathe

使用Strling公式。 n!=sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n *exp(1+O(1/n)) 而当n是偶数 n!!=2^(n/2) * (n/2)! = sqrt(2*Pi*(n/2))*(n/e)^(n/2)*exp(1+O(1/n)) = sqrt(n*Pi)*(n/e)^(n/2)*(1+O(1/n)) 当n为奇数 n!!=(n)!/(n-1)!! = sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n / {sqrt((n-1)*Pi)*((n-1)/e)^((n-1)/2) *(1+O(1/n)) =sqrt(2*n/(n-1))*(n/e)^n *(e/(n-1))^((n-1)/2) 所以当n为奇数时 n!/((n-1)!!^2)/sqrt(n) sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n =--------------------------------------------- *(1+O(1/n)) (n-1)*Pi*((n-1)/e)^(n-1) sqrt(n) =sqrt(2/Pi) ， （其中需要注意的时(n/(n-1))^n的极限是e) 也就是极限应该是 sqrt(2/Pi)=0.79788456080286535587989211986876 你上面的计算应该有点错误 对于n是偶数时，计算应该类似。

mathe

嗯，对于n是偶数的情况，计算结果是极限是 （呵呵，这里前面有笔误，写成n是奇数的情况了） sqrt(Pi/2)=1.2533141373155002512078826424055 所以这个题目应该对于n是奇数和偶数，收敛到不同的值，所以对于所有的n，不收敛 [ 本帖最后由 mathe 于 2008-1-22 18:31 编辑 ]

mathe

我写了个程序验证我上面的结论： #include #include int main(int argc, char *argv[]) { int n=atoi(argv[1]); double v; int i; v=-log(n)/2; for(i=1;i<=n;i++){ v+=log(i); } for(i=n-1;i>=1;i-=2){ v-=2*log(i); } printf("%f\n",exp(v)); } 运行结果如下： \$ ./facv 59 0.801272 \$ ./facv 60 1.258547 \$ ./facv 61 0.801161 \$ ./facv 62 1.258378 \$ ./facv 63 0.801057 \$ ./facv 99 0.799902 \$ ./facv 100 1.256451

liangbch

晕，竟忘了可以用Strling公式 来求。

所以当n为奇数时 n!/((n-1)!!^2)/sqrt(n) sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n =--------------------------------------------- *(1+O(1/n)) (n-1)*Pi*((n-1)/e)^(n-1) sqrt(n) =sqrt(2/Pi) ， （其中需要注意的时(n/(n-1))^n的极限是e) 也就是极限应该是 sqrt(2/Pi)=0.79788456080286535587989211986876

你可能看错了，我说的是

我的问题，当n为偶数时，当n趋于无穷大时，n! / ((n-1)!! ^2) 的极限

按照你的计算方法，当n为偶数时，n! / ((n-1)!! ^2)= sqrt(0.5*pi)*sqrt(n)= 1.2533141373155002512078826424055 * sqrt(n) 与我上面提到的

1.25*sqrt(n)

是一致的

mathe

嗯，我漏看了你的偶数的条件，这样的话，结论没有错误