求 n! / ( (n-1)!! ^2) 的极限

liangbch

说明：
　　n! 表示n的阶乘，n!= 1*2*3*4 * ... n
　　n!! 表示n的双阶乘，当n为奇数，n!!= 1*3*5*7 * ... n；当n为偶数，n!!= 2*4*6*8 * ... n
　　我的问题，当n为偶数时，当n趋于无穷大时，n! / ((n-1)!! ^2) 的极限

实验表明：当 n>=48 时, n! / ((n-1)!! ^2) 的上限为 1.26*sqrt(n)，一个可能的下限为 1.25*sqrt(n)。
我试图用数学归纳法证明 比它更弱的命题，n! > ((n-1)!! ^2) * sqrt(n) 但遭遇失败。

mathe

使用Strling公式。
n!=sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n *exp(1+O(1/n))
而当n是偶数
n!!=2^(n/2) * (n/2)! = sqrt(2*Pi*(n/2))*(n/e)^(n/2)*exp(1+O(1/n))
                                = sqrt(n*Pi)*(n/e)^(n/2)*(1+O(1/n))
当n为奇数
n!!=(n)!/(n-1)!! = sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n / {sqrt((n-1)*Pi)*((n-1)/e)^((n-1)/2) *(1+O(1/n))
                        =sqrt(2*n/(n-1))*(n/e)^n *(e/(n-1))^((n-1)/2)

所以当n为奇数时
n!/((n-1)!!^2)/sqrt(n)
          sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n
=--------------------------------------------- *(1+O(1/n))
   (n-1)*Pi*((n-1)/e)^(n-1) sqrt(n)

=sqrt(2/Pi)  ， （其中需要注意的时(n/(n-1))^n的极限是e)
也就是极限应该是
sqrt(2/Pi)=0.79788456080286535587989211986876
你上面的计算应该有点错误

对于n是偶数时，计算应该类似。

mathe

嗯，对于n是偶数的情况，计算结果是极限是 （呵呵，这里前面有笔误，写成n是奇数的情况了）
sqrt(Pi/2)=1.2533141373155002512078826424055
所以这个题目应该对于n是奇数和偶数，收敛到不同的值，所以对于所有的n，不收敛

[ 本帖最后由 mathe 于 2008-1-22 18:31 编辑 ]

mathe

我写了个程序验证我上面的结论：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(int argc, char *argv[])
{
    int n=atoi(argv[1]);
    double v;
    int i;
    v=-log(n)/2;
    for(i=1;i<=n;i++){
        v+=log(i);
    }
    for(i=n-1;i>=1;i-=2){
        v-=2*log(i);
    }
    printf("%f\n",exp(v));
}

运行结果如下：
\$ ./facv 59
0.801272
\$ ./facv 60
1.258547
\$ ./facv 61
0.801161
\$ ./facv 62
1.258378
\$ ./facv 63
0.801057
\$ ./facv 99
0.799902
\$ ./facv 100
1.256451

liangbch

晕，竟忘了可以用Strling公式 来求。

所以当n为奇数时
n!/((n-1)!!^2)/sqrt(n)
          sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n
=--------------------------------------------- *(1+O(1/n))
   (n-1)*Pi*((n-1)/e)^(n-1) sqrt(n)

=sqrt(2/Pi)  ， （其中需要注意的时(n/(n-1))^n的极限是e)
也就是极限应该是
sqrt(2/Pi)=0.79788456080286535587989211986876

你可能看错了，我说的是

我的问题，当n为偶数时，当n趋于无穷大时，n! / ((n-1)!! ^2) 的极限

按照你的计算方法，当n为偶数时，n! / ((n-1)!! ^2)= sqrt(0.5*pi)*sqrt(n)= 1.2533141373155002512078826424055 * sqrt(n)
与我上面提到的

1.25*sqrt(n)

是一致的

mathe

嗯，我漏看了你的偶数的条件，这样的话，结论没有错误