几何证明

zYr · 发表于 2008-10-3 21:51:10

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[img=http://www.math.org.cn/forums/uploads/post-7-1222937073.jpg]附图[/img] 转自博士数学论坛

zed · 发表于 2008-10-4 07:59:05

看不到

zYr · 发表于 2008-10-4 09:12:55

这回看得到吗？

zed · 发表于 2008-10-4 15:47:31

考虑到这个题目的一个特例，在P为垂心的时候很容易证明，我们可以通过将问题转化到空间来证明：过B任做一条不在平面ABC的射线交平面ABC过AD的垂面于A'.过C做A'B的垂线垂足为N'.设NN'和AA'交于S, 那么三角形A'BC是ABC关于S点在平面A'BC上的投影，其中P的投影P'为三角形A'BC的垂心。我们可以得出A'D平分角M'DN'其中M'为M的投影。由于投影中心S在公垂面上，由此容易证明AD也平分角MDN.

zed · 发表于 2008-10-5 07:33:51

如图关于AH做AB对称线AB'而且N的对称点为N' 那么就相当于证明H,N',M三点共线。可以用梅涅劳斯定理证明${AM}/{MC}*{CH}/{B'H}*{B'N'}/{N'A}=1$ 也就是证明${AM}/{MC}*{CH}/{BH}*{BN}/{NA}=1$ 它们可以转化为三角形APM,CPM,CPH,BPH,BPN,APN等面积之比。然后每个三角形面积用正弦定理表示，如三角形APM的面积为$1/2PM*PA*sin/_APM$ 然后就可以证明了。不过这个方法使用代数方法比较多一点

zed · 发表于 2008-10-5 07:36:06

想起来了，其中${AM}/{MC}*{CH}/{BH}*{BN}/{NA}=1$可以根据西瓦定理得到，这样就不需要三角函数计算了。

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