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[转载] 几何证明

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发表于 2008-10-3 21:51:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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[img=http://www.math.org.cn/forums/uploads/post-7-1222937073.jpg]附图[/img]

转自博士数学论坛
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-10-4 07:59:05 | 显示全部楼层
看不到
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-10-4 09:12:55 | 显示全部楼层
post-7-1222937073.jpg
这回看得到吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-10-4 15:47:31 | 显示全部楼层
考虑到这个题目的一个特例,在P为垂心的时候很容易证明,我们可以通过将问题转化到空间来证明:
过B任做一条不在平面ABC的射线交平面ABC过AD的垂面于A'.过C做A'B的垂线垂足为N'.设NN'和AA'交于S,
那么三角形A'BC是ABC关于S点在平面A'BC上的投影,其中P的投影P'为三角形A'BC的垂心。我们可以得出A'D平分角M'DN'其中M'为M的投影。由于投影中心S在公垂面上,由此容易证明AD也平分角MDN.
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发表于 2008-10-5 07:33:51 | 显示全部楼层
pic.GIF
如图关于AH做AB对称线AB'而且N的对称点为N'
那么就相当于证明H,N',M三点共线。
可以用梅涅劳斯定理证明${AM}/{MC}*{CH}/{B'H}*{B'N'}/{N'A}=1$
也就是证明${AM}/{MC}*{CH}/{BH}*{BN}/{NA}=1$
它们可以转化为三角形APM,CPM,CPH,BPH,BPN,APN等面积之比。
然后每个三角形面积用正弦定理表示,如三角形APM的面积为$1/2PM*PA*sin/_APM$
然后就可以证明了。不过这个方法使用代数方法比较多一点

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2008-10-5 07:36:06 | 显示全部楼层
想起来了,其中${AM}/{MC}*{CH}/{BH}*{BN}/{NA}=1$可以根据西瓦定理得到,这样就不需要三角函数计算了。
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