星空呢，求一个恒等式

282842712474

数学星空 发表于 2015-9-16 18:44
下面的推理还不是太明白！

取$\epsilon=0$，就有

原理很简单呀，因为引入了参数$\epsilon$，所以结果$y_{n}$必然也与$\epsilon$有关，一般来说可以展开为$\epsilon$的函数：
$$y_n(\epsilon)=y_n(0)+\partial_{\epsilon}y_n(0)\epsilon+\frac{1}{2}\partial^2_{\epsilon}y_n(0)\epsilon^2+\dots$$
对递推公式逐次求$\epsilon$的偏导数，然后让$\epsilon=0$，就可以依次地求$y_n(0),\partial_{\epsilon}y_n(0), ...$了。然后拟合初始条件。

摄动法一般是用于微分方程求解的，但是这里用于差分方程，也未尝不可。

282842712474

不过，帖子
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 0919&fromuid=70
让我想到了一个求
$$x_{n}=b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+\dots}}}\quad\text{(n个根号)}$$
精确解的方法。让我们来考虑
$$y_n = \sqrt{c-x_{n-1}}=\sqrt{c-b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+\dots}}}}\quad\text{(n个根号)}$$
它的一个递推公式是
$$\frac{y_{n+1}}{\sqrt{a+c}}=\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\sqrt{\frac{1-\frac{b\sqrt{a+c}}{c}\sqrt{1-\left(\frac{y_n}{\sqrt{a+c}}\right)^2}}{2}}$$
不得不说，这是故意拼凑出来的。现在令
$$b\sqrt{a+c}=c$$
也就是$c=\lim_{n\to\infty}x_n$，那么上式变为
$$\frac{y_{n+1}}{\sqrt{a+c}}=\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\left(\frac{y_n}{\sqrt{a+c}}\right)^2}}{2}}$$
它的形式跟正弦的半角公式是一样的，因此，可以令$\frac{y_1}{\sqrt{a+c}}=\sin\theta$，从而
$$\frac{y_{n}}{\sqrt{a+c}}=\left(\frac{2c}{a+c}\right)^{(n-1)/2}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}$$
所以
$$y_{n+1}=\sqrt{a+c}\left(\frac{2c}{a+c}\right)^{n/2}\sin\frac{\theta}{2^n}$$
而
$$x_n=c-y_{n+1}^2=c-\frac{(2c)^n}{(a+c)^{n-1}}\sin^2 \frac{\theta}{2^n}$$
最后
$$\theta=\arcsin\sqrt{\frac{c}{a+c}}$$

以上过程是针对从$\sqrt{a}$出发的，但是就本贴的初衷，应该是从$\sqrt{a+b}$出发的，在初值方面，要做些小修改，答案是
$$x_n=c-\frac{(2c)^{n-1}}{(a+c)^{n-2}}\sin^2 \frac{\theta}{2^{n-1}}$$
其中
$$\theta=\arcsin\sqrt{\frac{c-b\sqrt{a+b}}{a+c}}$$

http://spaces.ac.cn/index.php/archives/3454/

282842712474

282842712474 发表于 2015-9-16 23:16
不过，帖子
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=8656&pid=60919&fromuid= ...

不好意思，此过程有误，我已经把博客文章删除~~请读者注意。

数学星空

对于9# 我按照282842712474 计算思路重新核算了一下：

设\(x_{n+1}^2=a+bx_n, a=2,b=1\)

记\(y_n=k-x_n,k=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2},s=\frac{b}{2k}=\frac{b(\sqrt{b^2+4a}-b)}{4a}\)

对\(2ky_{n+1|0}=by_{n|0}+\mu y_{n+1|0}^2\).....................................(1)

求导得到：

\(by'_{n|0}-2ky'_{n+1|0}+y_{n+1|0}^2+2\mu y_{n+1|0} y'_{n+1|0}=0\).......................(2)

取\(\mu=0\) 得到：

\(y_{n|0}=s y_{n-1|0}=s^{n-1} y_{1|0}=s^{n-1}\) ...............................(3)

注：\(y_{1|0}=1\)的初值是如何拟合的，不是太清楚？

将（3）代入（2）并取\(\mu=0\)得到下列差分方程：

\(2ky'_{n+1|0}=by'_{n|0}+s^{2n},y'_{1|0}=1\)...............................(4)

求解得到：

\(y'_{n|0}=\frac{-1}{2}\frac{2s^nk-2ks^{n+1}+s^{n+1}-s^{2n}}{ks(s-1)}\).................(5)

即我们得到第一阶展开式：

\(y_n=y_{n|0}+\mu y'_{n|0}=s^{n-1}-\frac{\mu}{2}\frac{2s^nk-2ks^{n+1}+s^{n+1}-s^{2n}}{ks(s-1)}\)..........................(6)

我再一次对（2）求导得到：

\(by''_{n|0}-2ky''_{n+1|0}+2y_{n+1|0}y'_{n+1|0}+2\mu y'_{n+1|0} y'_{n+1|0}+2\mu y_{n+1|0} y''_{n+1|0}+2 y_{n+1|0} y'_{n+1|0}=0\).........(7)

在（7）取\(\mu=0\)得到：

\(by''_{n|0}-2ky''_{n+1|0}+2y_{n+1|0}y'_{n+1|0}+2 y_{n+1|0} y'_{n+1|0}=0\).......................(8)

即我们可以进一步求解下列差分方程：

\(by''_{n|0}-2ky''_{n+1|0}+4y_{n+1|0}y'_{n+1|0}=0，y''_{1|0}=0\).....................(9)

注：\(y''_{1|0}=0\)的初值是如何拟合的，不是太清楚？

另外：

\(y_{n|0} y'_{n|0}=s^{n-1} (-\frac{1}{2}\frac{2s^nk-2ks^{n+1}+s^{n+1}-s^{2n}}{ks(s-1)})\)....................(10)

将（10）代入（9），并求解得到：

\(y''_{n|0}=\frac{m^3}{(s+1)(s-1)^2s^3k^2}+\frac{(2k-1)s^2-s-2k)m^2}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)}+\frac{(-2k+1)s^3+2sk)m}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)}\).........................(11)

其中

\(m=s^n=(\frac{b}{2k})^n=(\frac{b(\sqrt{b^2+4a}-b)}{4a})^n\).........................(12)

即得到第二阶展开式：

\(y_n=y_{n|0}+\mu y'_{n|0}+\frac{\mu^2}{2} y''_{n|0}\)

\(=s^{n-1}-\frac{\mu}{2}(\frac{2s^nk-2ks^{n+1}+s^{n+1}-s^{2n}}{ks(s-1)})+\frac{\mu^2}{2}(\frac{s^{3n}}{(s+1)(s-1)^2s^3k^2}+\frac{((2k-1)s^2-s-2k)s^{2n}}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)}+\frac{(-2k+1)s^3+2sk)s^{n}}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)})\) .....................(13)

\(=\frac{m}{s}-\frac{\mu}{2}(\frac{-2kms+2km-m^2+ms}{ks(s-1)})+\frac{\mu^2}{2}(\frac{m^3}{(s+1)(s-1)^2s^3k^2}+\frac{((2k-1)s^2-s-2k)m^2}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)}+\frac{((-2k+1)s^3+2sk)m}{s^3 k^2 (s-1)^2 (s+1)})\)..............(14)

对于9#的例子

取\(a=2,b=1,k=2,s=\frac{1}{4},m=(\frac{1}{4})^n\)代入（14）得到

\(y_n= \frac{1}{4^{n-1}}+\mu (\frac{13}{3}\frac{1}{4^n}-\frac{4}{3}\frac{1}{16^n})+\frac{\mu^2}{2}(\frac{512}{45}\frac{1}{64^n}+\frac{488}{45}\frac{1}{4^n}-\frac{416}{9}\frac{1}{16^n}))\)

得到的\(\mu\)系数项与9#一致，但\(\mu^2\)系数项与9#不一致，不知是哪里出了问题？？