圆的切线段中点轨迹

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. sol=Solve[{A*(2*x-r*cosx)+B*(2*y-r*sinx)+C==0,
   
3.           (x-r*cosx)*r*cosx+(y-r*sinx)*r*sinx==0},
   
4.           {cosx,sinx}];
   
5. out=cosx^2+sinx^2/.sol;
   
6. FullSimplify@out
   

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两个方程分别是:


\(\frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})-Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)

\(\frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})+Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}-Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)

cn8888

1. \(\frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})-Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)
   

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上面的代码的效果:
\(\frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})-Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)

1. \[
   
2. \frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})-Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1
   
3. \]
   

复制代码

上面的代码的效果:
\[
\frac{{2{A^2}rx(C+3By)+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})-Bx\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+Ay\sqrt{-{A^2}{r^2}(4{C^2}+(8{A^2}-{B^2}){x^2}+18ABxy-({A^2}-8{B^2}){y^2}+12C(Ax+By))}+ABr(2Cy+B({x^2}+4{y^2}))}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1
\]

原来代码的效果还是有区别的!

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. sol=Solve[{
   
3.           (*P点在直线上*)
   
4.           A*(2*x-r*cosx)+B*(2*y-r*sinx)+C==0,
   
5.           (*MQ垂直于OQ,O为原点圆心*)
   
6.           (x-r*cosx)*r*cosx+(y-r*sinx)*r*sinx==0},
   
7.           {cosx,sinx}];
   
8. (*这个值等于1*)
   
9. out=cosx^2+sinx^2/.sol;
   
10. (*尽一切可能化简方程,等于1*)
    
11. FullSimplify@out
    

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manthanein

谢谢诸位关心这个不起眼的问题。下面是我用几何画板做出来的效果。
javascript:;

manthanein

manthanein

aimisiyou

解个简单方程都离不开程序，有点退化迹象。

manthanein

为简化方程，我认为可以将坐标原点选在点与圆心的连线和直线垂直时连线的中点，此时连线为横轴，线段垂直平分线为纵轴。
此时直线x+a=0，圆(x-a)^2+y^2=r^2
这样能否简化方程?

manthanein

突然想到一个可能简单一些的方法。首先应用上一楼的设定。
设中点坐标为（x，y），点P坐标为（-a，p)。则切点坐标为（2x+a,2y-p）
圆心到切点的距离等于半径：
(2x)^2+(2y-p)^2=r^2
切线段和半径垂直：
（-x-a）(-2x)+(p-y)(p-2y)=0
这样方程是不是简化了？