圆的切线段中点轨迹

manthanein

给定一个圆x^2+y^2=r^2，以及一条定直线Ax+By+C=0，在定直线上任取一点P，过点P作圆的切线，连接P和切点，形成一条切线段。作出切线段的中点。当P在定直线上运动时，中点的轨迹是怎样的？

aimisiyou

另中点\(M=(x,y)\),切点为\(Q=(r\cos\theta,r\sin\theta)\),则点\(P=({2x-r\cos\theta}, {2y-r\sin\theta})\),
则有
\begin{cases}
A*(2x-r\cos\theta)+B*(2y-r\sin\theta)+C=0\\
(x-r\cos\theta)r\cos\theta+(y-r\sin\theta)r\sin\theta=0
\end{cases}
联立两式,消去\(\theta\),即得M的轨迹方程\( (x(2Ax+2By+C)-Ar^2)^2+(y(2Ax+2By+C)-Br^2)^2=(Ay-Bx)^2r^2\).

cn8888

aimisiyou 发表于 2015-10-10 23:37
另中点\(M=(x,y)\),切点为\(Q=(r\cos\theta,r\sin\theta)\),则点\(P=({2x-r\cos\theta}, {2y-r\sin\theta}) ...

我啥都不好奇,就好奇如何消去\(\theta\)???????????????????
求过程,或者用mathematica软件也可以!

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. sol=Solve[{A*(2*x-r*cosx)+B*(2*y-r*sinx)==0,
   
3.           (x-r*cosx)*r*cosx+(y-r*sinx)*r*sinx==0},
   
4.           {cosx,sinx}];
   
5. out=cosx^2+sinx^2/.sol;
   
6. FullSimplify@out
   

复制代码

上面是我的mathematics代码

\(\frac{{6{A^2}Brxy+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})+A{B^2}r({x^2}+4{y^2})-Bx\sqrt{{A^2}{r^2}(-18ABxy+{B^2}({x^2}-8{y^2})+{A^2}(-8{x^2}+{y^2}))}+Ay\sqrt{{A^2}{r^2}(-18ABxy+{B^2}({x^2}-8{y^2})+{A^2}(-8{x^2}+{y^2}))}}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)
这是第一个


\(\frac{{6{A^2}Brxy+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})+A{B^2}r({x^2}+4{y^2})+Bx\sqrt{{A^2}{r^2}(-18ABxy+{B^2}({x^2}-8{y^2})+{A^2}(-8{x^2}+{y^2}))}-Ay\sqrt{{A^2}{r^2}(-18ABxy+{B^2}({x^2}-8{y^2})+{A^2}(-8{x^2}+{y^2}))}}}{{2A({A^2}+{B^2}){r^3}}}=1\)


这是第二个
为什么我得到的是两个方程??????????????????

wayne

cn8888 发表于 2015-10-12 18:15
上面是我的mathematics代码

\(\frac{{6{A^2}Brxy+{A^3}r(4{x^2}+{y^2})+A{B^2}r({x^2}+4{y^2})-Bx\sqr ...

这两个的根式是共轭的，挪项，相乘，就得到一个式子了

cn8888

wayne 发表于 2015-10-12 18:27
这两个的根式是共轭的，挪项，相乘，就得到一个式子了

啥都别说,直接上具体过程

cn8888

合并后的结果可能是:
\((Bx-Ay)(Bx+Ay)(-18ABxy+{B^2}({x^2}-8{y^2})+{A^2}(-8{x^2}+{y^2}))\)

cn8888

wayne 发表于 2015-10-12 18:27
这两个的根式是共轭的，挪项，相乘，就得到一个式子了

x+y=1
与
x-y=1
是共轭的,
两边相乘
得到
x^2-y^2=1
但是方程的味道完全变了
原本是两个直线方程,现在变成了双曲线

cn8888

aimisiyou 发表于 2015-10-10 23:37
另中点\(M=(x,y)\),切点为\(Q=(r\cos\theta,r\sin\theta)\),则点\(P=({2x-r\cos\theta}, {2y-r\sin\theta}) ...

我觉得很可能就两个方程,  因为如果圆与直线相互分离, 从直线上任意一点
都有两条切线切圆!!!!!!!

cn8888

草,我把直线常熟项C丢了