一个忘却的数学公式(岳东晓)

Buffalo

数学星空 发表于 2015-10-20 20:25
楼上的方法依赖于：

\(\cot(x)=y\)

设\(\theta_k=\frac{2k\pi}{N}\)，使用棣莫弗公式及部分分式分解，这些求和式以及更广泛的一般三角函数有理式\(\sum_{k=1}^{N} \frac{P_m(cos \theta_k, \sin \theta_k)}{Q_n(\cos \theta_k,\sin \theta_k)}\)都可以分解为数个（复系数）简单分式（整式部分求和太简单了，忽略）的求和（分母有重根情况可以简单地作为无重根的极限情况）\(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{A-B e^{i\theta_k}}\)。这类简单分式的求和又可以用韦达定理求得：\(y_k=A-B e^{i\theta_k}\)是代数方程\(P_N(y)=(\frac{A-y}{B})^{N}-1=0\)的全部根，因此\(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{A-B e^{i\theta_k}}=\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{y_k}=-\frac{P'_N(0)}{P_N(0)}=\frac{N}{A}\frac{1}{1-(\frac{B}{A})^N}\)。

Buffalo

以\(\sum_{k=1}^{M} \frac{1}{1-\epsilon \cot\frac{2k\pi}{M}}\)为例:

记\(z=e^{i\theta_k}\)，\( \frac{1}{1-\epsilon \cot \theta_k}=\frac{1}{1-i\epsilon \frac{z^2+1}{z^2-1}}=\frac{z^2-1}{(1-i\epsilon)z^2-(1+i\epsilon)}=\frac{1}{1-i\epsilon}+\frac{2i\epsilon}{(1-i\epsilon)^2}\frac{1}{z^2-e^{2i\varphi}}=\frac{1}{1-i\epsilon}+\frac{i\epsilon}{(1-i\epsilon)^2 e^{i\varphi}}(\frac{1}{z-e^{i\varphi}}-\frac{1}{z+e^{i\varphi}}) \)，这里的\(e^{2i\varphi}=\frac{1+i\epsilon}{1-i\epsilon}\)

按前面的公式，\(\sum_{k=1}^{M} \frac{1}{1-\epsilon \cot\frac{2k\pi}{M}}=\frac{M}{1-i\epsilon}+\frac{i\epsilon}{(1-i\epsilon)^2 e^{i\varphi}}(\frac{M}{-e^{i\varphi}}\frac{1}{1-e^{-i M\varphi}}-\frac{M}{e^{i\varphi}}\frac{1}{1-(-1)^M e^{-i M\varphi}})=\frac{M}{\sqrt{1+\epsilon^2}}(e^{i\varphi}-i\sin\varphi (\frac{1}{1-e^{-i M\varphi}}+\frac{1}{1-(-1)^M e^{-i M\varphi}}))\)

如果\(M=2N+1\)，则得到\(\sum_{k=1}^{2N+1} \frac{1}{1-\epsilon \cot\frac{2k\pi}{2N+1}}=\frac{2N+1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}\frac{\sin 2N\varphi}{\sin (2N+1)\varphi}\)；

如果\(M=2N\)，则得到\(\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{1-\epsilon \cot\frac{2k\pi}{2N}}=\frac{2N}{\sqrt{1+\epsilon^2}}\frac{\sin (N-1)\varphi}{\sin N\varphi}\)。

kastin

Buffalo 发表于 2015-11-4 15:21
以\(\sum_{k=1}^{M} \frac{1}{1-\epsilon \cot\frac{2k\pi}{M}}\)为例，记\(z=e^{i\theta_k}\)，\( \frac{1 ...

这个思路非常好，但是推导过程中最后一步用到了一点拼凑的技巧，否则较难化简得到最后的最简形式结论。（不知是否有更加程序化的手段，而不是技巧性的？）

另外，结论中的系数 `\D\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}` 可以用 `\cos \varphi` 来代替。

上述结论中`\epsilon`可取任意值，则 `\varphi=\D\frac{1}{2}\arccos\frac{1-\epsilon^2}{1+\epsilon^2}`，或更简单的 `\varphi=\arctan\epsilon`.

Buffalo

对于有理式

Buffalo

继续优化可以略去分解为部分分式步骤：设多项式$P_n(z)$的根$z_s$的重数为$n_s$，$\theta_k=\frac{2k\pi}{M}$，$m<n$，则有理式求和$\sum_{k=1}^{M}\frac{Q_m(e^{i\theta_k})}{P_n(e^{i\theta_k})}=\sum_s\sum_{i=0}^{n_s-1}\frac{n_s!Q_m^{(i)}(z_s)}{i!P_n^{(n_s)}(z_s)}\frac{1}{(n_s-1-i)!}(\frac{d}{dz_s})^{n_s-1-i}[\frac{-Mz_s^{M-1}}{z_s^M-1}]=-\sum_s\frac{M n_s}{P_n^{(n_s)}(z_s)}(\frac{d}{dz_s})^{n_s-1}[\frac{Q_m(z_s)z_s^{M-1}}{z_s^M-1}]$。
于是对所有三角有理式的离散周期求和都可以程序化地完成：
第一步：用棣莫弗公式把三角有理式化为复变量有理式，并进一步化为真分式，这一步可以用软件自动完成。
第二步：求出分母多项式的全部根和重数，这一步原则上可以用软件完成，至少可以给出数值解。要解析式要好运气和人工，是最困难的部分。
第三步：代入公式化简得到最终结果，这步也可用软件自动完成。

Buffalo

例：$\frac{1}{1-e\sin\theta}=\frac{z}{\frac{ie}{2}z^2+z-\frac{ie}{2}}$，分母有两个单根$\frac{i}{e}\pm\sqrt{1-\frac{1}{e^2}}$，
1. 若$|e|>1$，令$\varphi=\arcsin\frac{1}{e}$，两个根可写为$\pme^{\pmi\varphi}$，求和结果为$-\sum_s\frac{z_s}{ie z_s+1}\frac{Mz_s^{M-1}}{z_s^M-1}=\frac{iM\tan\varphi}{1-e^{-iM\varphi}}-\frac{i M\tan\varphi}{1-(-1)^Me^{iM\varphi}}$
1.1，若$M=2N+1$，则求和结果为$iM\tan\varphi(\frac{1}{1-e^{-iM\varphi})-\frac{1}{1+e^{iM\varphi}})=-iM\tan\varphi\frac{1+e^{2iM\varphi}}{1-e^{2iM\varphi})=\frac{(2N+1)\tan\varphi}{tan(2N+1)\varphi}$
1.2，若$M=2N$，则求和结果为$iM\tan\varphi(\frac{1}{1-e^{-iM\varphi})-\frac{1}{1-e^{iM\varphi}})=-iM\tan\varphi\frac{1+e^{iM\varphi}}{1-e^{iM\varphi})=\frac{2N\tan\varphi}{tanN\varphi}$

2. 若$|e|<1$，这时相当于$\varphi=\arcsin\frac{1}{e}=(-1)^{\sign(e)}(\frac{\pi}{2}+i\arch\frac{1}{|e|})=(-1)^{\sign(e)}(\frac{\pi}{2}+i\alpha)$，注意到上面的结果是$\varphi$的偶函数，可以略去符号$(-1)^{\sign(e)}$
2.1，若$M=2N+1$，则求和结果为$\frac{(2N+1)\tan\varphi}{tan(2N+1)\varphi}=\frac{(2N+1)\tanh(2N+1)\alpha}{\tanh\alpha}$
2.2a，若$M=2N=4L+2$，则求和结果为$\frac{2N\tan\varphi}{tanN\varphi}=\frac{(4L+2)\tanh(2L+1)\alpha}{tanh\alpha}$
2.2b，若$M=2N=4L$，则求和结果为$\frac{2N\tan\varphi}{tanN\varphi}=\frac{4L}{\tanh\alpha tanh 2L\alpha}$