能否证明高维欧几里得空间里两个二维平面的交线是直线

manthanein

这个空间里，点的坐标表现为：
\((x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})\)

直线的参数方程表现为：
\(x_{1}=a_{1}+b_{1}t\)
\(x_{2}=a_{2}+b_{2}t\)
\(x_{3}=a_{3}+b_{3}t\)
…………
\(x_{n}=a_{n}+b_{n}t\)
t为参数

二维平面的参数方程表现为：
\(x_{1}=p_{1}+\mu m_{1}+\lambda q_{1}\)
\(x_{2}=p_{2}+\mu m_{2}+\lambda q_{2}\)
\(x_{3}=p_{3}+\mu m_{3}+\lambda q_{3}\)
…………
\(x_{n}=p_{n}+\mu m_{n}+\lambda q_{n}\)

其中\(\mu\)和\(\lambda\)是参数。向量\((m_{1},m_{2},m_{3},...m_{n})\)和\((q_{1},q_{2},q_{3},...q_{n})\)线性无关。

manthanein

为简化问题，把直线方程写为：
\(\overrightarrow X=\overrightarrow A+t \overrightarrow B\)
把平面方程写为：
\(\overrightarrow X=\overrightarrow P+\mu \overrightarrow M+\lambda \overrightarrow Q\)

manthanein

为简化问题，把直线方程写为：
\(\overrightarrow X=\overrightarrow A+t \overrightarrow B\)
把平面方程写为：
\(\overrightarrow X=\overrightarrow P+\mu \overrightarrow M+\lambda \overrightarrow Q\)

manthanein

\(\overrightarrow P_{1}+\mu_{1} \overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1}=\overrightarrow P_{2}+\mu_{2} \overrightarrow M_{2}+\lambda_{2} \overrightarrow Q_{2}\)

manthanein

也就是证明，所有形如\(\overrightarrow X\)并且满足\(\overrightarrow X=\overrightarrow P_{1}+\mu_{1} \overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1}=\overrightarrow P_{2}+\mu_{2} \overrightarrow M_{2}+\lambda_{2} \overrightarrow Q_{2}\)的向量组成的集合一定是如下两种形式之一：
\(\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow A+t \overrightarrow B\}\)
\(\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{1}+\mu_{1}\overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1} \}\)


其中\(\mu_{1}\)、\(\mu_{2}\)、\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)为常数，\(\overrightarrow M_{1}\)、\(\overrightarrow Q_{1}\)线性无关，\(\overrightarrow M_{2}\)、\(\overrightarrow Q_{2}\)线性无关。

mathe

显然如同三维空间，两平面可以相交于一条直线或平行。
但是四维空间中两平面还可以只相交于一点，如平面(x,y,0,0)和平面(0,0,z,w),只交于一点(0,0,0,0)
同样四维空间中两平面还可以不相交也不平行，比如平面(0,y,z,0)和(1,0,z,w)

manthanein

mathe 发表于 2015-12-27 14:18
显然如同三维空间，两平面可以相交于一条直线或平行。
但是四维空间中两平面还可以只相交于一点，如平面(x ...

确定这是二维的平面，不是三维的超平面？

manthanein

换个更清晰的说法，
集合\(S_{1}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{1}+\mu_{1}\overrightarrow M_{1}+\lambda_{1} \overrightarrow Q_{1} \}\)，集合\(S_{2}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow P_{2}+\mu_{2}\overrightarrow M_{2}+\lambda_{2} \overrightarrow Q_{2} \}\)，其中\(\mu_{1}\)、\(\mu_{2}\)、\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)为实数参数，\(\overrightarrow M_{1}\)和\(\overrightarrow Q_{1}\)不共线，\(\overrightarrow M_{2}\)和\(\overrightarrow Q_{2}\)不共线，且\(S_{1} \bigcap S_{2} \ne \varnothing\),\(S_{1} \ne S_{2}\)。
那么有：\(S_{1} \bigcap S_{2}=\{\overrightarrow X\mid \overrightarrow X=\overrightarrow A+t \overrightarrow B\}\)，其中\(t\)为实数参数。