带摩擦力加速运动物理问题两个

倪举鹏

wayne

高中的物理题。
第一个：隔离对象法。 对于m，在斜面法向方向，无相对位移，所以能计算出支持力，从而计算出摩擦力，然后在斜面方向运动的加速度。然后动能守恒，动量守恒。化简。最后，还得计算m碰撞地面后的速度(垂直地面方向的速度顿时消失，水平方向的维持不变)

（不是说地面光滑吗？怎么又说有摩擦力？）

wayne

第二题 也可以以高中思维解答，不过好像得从冲量定理的微小时间形式（大学的微分） 突破。
在水平方向：系统在任一时刻，经过极小的时间Δt，都有 f*Δt = M*ΔV +m*Δv ,  即  f = M *A +m*a 。 这个是任何时刻均成立的关系式，接下来隔离对象，迎刃而解。

4mr1sr4g8

以我高中物理水平，加上摩擦系数后，水平方向上动量守恒这一等式多了一个未知数摩擦力，条件不够无法求解，不知道如何用数学方法求解。

kastin

第一题，隔离分析列方程即可，注意对滑块在非惯性系下受力分析比较方便。
初始条件是滑块由静止开始向下做加速运动，须满足主动力的合力与支持力的夹角大于最大静摩擦角，即 $$\theta > \arctan \mu\tag{*}$$否则滑块可能静止（或者初始时刻给滑块沿斜面的初速度，滑块会减速运动直到静止）。
注意，上式中的斜面摩擦因数`\mu`应该是静摩擦因数，因为只有越过最大静摩擦力的约束，才会运动；由于下面方程中对于涉及到相对运动的过程，其中的摩擦力应使用动摩擦因数。

一般来说，静摩擦因数比动摩擦因数稍微大一点点，我们这里假定：静摩擦因数近似等于动摩擦因数。

若满足上述条件，接下来只需要求出斜面的加速度，和滑块沿斜面的加速度，那么运动方程就出来了。按照约定俗称的规定：不加粗的变量只表示大小（即标量），不包含方向，下面符号的方向很容易分析，在此不赘述。

解：对斜面分析，设其相对地面（惯性系）以加速度 `a_M` 向左加速运动。其受到重力 `Mg`、地面支持力 `N_d`、地面摩擦力 `f_d`（若地面光滑则此力为零），滑块对斜面的压力 `N_s`，斜面动摩擦力 `f_s`.
在水平方向上加速运动$$N_s\sin \theta -f_s \cos\theta-f_d=Ma_M\tag{1}$$在竖直方向上静止$$N_d=Mg+N_s\cos\theta+f_s\sin \theta\tag{2}$$
对于滑块，其相对斜面（非惯性系）以加速度 `a_m` 加速下滑。其受到重力 `mg`、斜面支持力 `N_s`，斜面动摩擦力 `f_s`，惯性力 `ma_M`（方向水平向右）。
垂直于斜面方向相对静止$$N_s+ma_M\sin\theta=mg\cos\theta\tag{3}$$沿斜面方向相对加速运动有$$ma_M \cos\theta -mg\sin\theta-f_s=ma_m\tag{4}$$
根据假定，那么斜面滑动摩擦力大小为$$f_s\approx\mu N_s\tag{5}$$其中 `\mu_d` 为静摩擦因数。
考虑地面静摩擦力$$f_d\approx\mu_dN_d$$将 `(2),(3),(5)` 代入 `(1)`，得到$$a_M=\frac{(Mg+mg\cos^2\theta+\mu mg\sin\theta\cos\theta)\mu_d+\mu mg\cos^2\theta-mg\sin\theta\cos\theta}{(m\sin\theta\cos\theta+\mu m\sin^2\theta)\mu_d+\mu m\sin\theta\cos\theta-m\sin^2\theta-M}\tag{6}$$由(4)可知，`a_m>0` （注意这是一个相对加速度），`f_s>0`，故 `a_M>0`，根据 `(6)` 和 `(*)` 可得到$$\mu_d>\frac{m\sin^2\theta-\mu m\sin\theta\cos\theta-M}{\mu m \sin^2\theta+m\sin\theta\cos\theta}\quad或 \quad \mu_d<\frac{-\mu m \cos^2\theta+m\sin\theta\cos\theta}{m\cos^2\theta+\mu m\sin\theta\cos\theta+M}\tag{7}$$  
现在有了 `a_M`，代入`(4)` 便可得到 `a_m`，然后可以得到 `N_s`，于是滑块在惯性系的加速度分量便可求出了。
对于地面光滑的情况，只需要令 `\mu_d=0` 即可。

第二题和第一题一样，仍然是在非惯性系中分析小球，自己练习吧。

上面用的方法就是所谓的”动静法“，”动静法“的核心就是达朗贝尔原理，它和虚功原理一起构成分析力学的根基。虚功原理作用就是消去未知的约束变量，上面用牛顿力学用隔离法分析就会产生多余的约束力`N_s`和`N_d`，需要消元。从这个意义上说，分析力学和牛顿力学的本质是一样的。

4mr1sr4g8

kastin 发表于 2016-8-3 16:10
第一题，隔离分析列方程即可，注意对滑块在非惯性系下受力分析比较方便。
初始条件是滑块由静止开始向下做 ...

上面公式（3）中采用相对M，但M是由水平加速度的，用做参考系，公式是否不妥？