由介值定理说开去

manthanein

我们知道，介值定理表明，对于连续函数y=f(x),x∈[a,b]，对于满足f(a)<u<f(b)的u，一定存在c∈(a,b)，满足f(c)=u。

把这个结论几何化，我们有：
给定一条与x轴平行的直线L、处在这条直线两侧的点A（横坐标a）和点B（横坐标b），连接点A和点B且与任意x=c(a≤c≤b)都只有一个交点的连续曲线C，一定与L有交点。

问题：
能不能把“与任意x=c(a≤c≤b)都只有一个交点”的条件去掉？
连续性保证了一定有交点，如果交点不止一个，这种几何化的“介值定理”还能否成立？
从直觉角度，“很明显”是成立的。但如何证明呢？

kastin

介值定理并没说只有一个交点，而是说一定存在一个……（即至少有一个交点）。你自己的理解有问题。

manthanein

kastin 发表于 2016-10-5 11:50
介值定理并没说只有一个交点，而是说一定存在一个……（即至少有一个交点）。你自己的理解有问题。

我知道啊，我说的是，如果和y轴平行的直线与连续曲线C不止一个交点（这时连续曲线不是单值函数），那么几何化的介值定理还成立不？

manthanein

无语……我说的是不是函数的情况：
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谁用介值定理证明一下红色的连续线和蓝色的直线至少有一个交点？

kastin

manthanein 发表于 2016-10-5 13:56
无语……我说的是不是函数的情况：
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谁用介值定理证明一下红色的连续线和蓝色的直线至少有一 ...

说明你并没深刻、透彻地理解定理内容。

你绘制的那个图像，可以看成一个点连续运动形成的轨迹，因此存在一个连续的映射$$f:\,t\mapsto y$$其中 `y`为纵坐标， `t\;(t_a\leqslant t\leqslant t_b)` 为参数。
因此当 `t` 连续变化时，`y` 也连续变化。因为 `t=t_a` 时, `y<0` 而 `t=t_b` 时，`y>0`，运用介值定理可知，至少存在一个 `t=t_0\in(t_a,t_b)` 使得 `y=0`.这就意味着曲线至少与横轴至少有一个交点。

你所理解的只是介值定理的一个最直观的简单的特例，陷入了只见树木不见森林的思维误区。