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[讨论] 由介值定理说开去

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发表于 2016-10-5 01:31:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我们知道,介值定理表明,对于连续函数y=f(x),x∈[a,b],对于满足f(a)<u<f(b)的u,一定存在c∈(a,b),满足f(c)=u。

把这个结论几何化,我们有:
给定一条与x轴平行的直线L、处在这条直线两侧的点A(横坐标a)和点B(横坐标b),连接点A和点B且与任意x=c(a≤c≤b)都只有一个交点的连续曲线C,一定与L有交点。

问题:
能不能把“与任意x=c(a≤c≤b)都只有一个交点”的条件去掉?
连续性保证了一定有交点,如果交点不止一个,这种几何化的“介值定理”还能否成立?
从直觉角度,“很明显”是成立的。但如何证明呢?



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-10-5 11:50:07 | 显示全部楼层
介值定理并没说只有一个交点,而是说一定存在一个……(即至少有一个交点)。你自己的理解有问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2016-10-5 13:16:26 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2016-10-5 11:50
介值定理并没说只有一个交点,而是说一定存在一个……(即至少有一个交点)。你自己的理解有问题。

我知道啊,我说的是,如果和y轴平行的直线与连续曲线C不止一个交点(这时连续曲线不是单值函数),那么几何化的介值定理还成立不?

点评

“不只一个交点”不等价于“至少有一个交点”。  发表于 2016-10-5 13:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2016-10-5 13:56:26 | 显示全部楼层
无语……我说的是不是函数的情况:
javascript:;
谁用介值定理证明一下红色的连续线和蓝色的直线至少有一个交点?
无标题111.png
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发表于 2016-10-5 15:22:36 | 显示全部楼层
manthanein 发表于 2016-10-5 13:56
无语……我说的是不是函数的情况:
javascript:;
谁用介值定理证明一下红色的连续线和蓝色的直线至少有一 ...

说明你并没深刻、透彻地理解定理内容。

你绘制的那个图像,可以看成一个点连续运动形成的轨迹,因此存在一个连续的映射$$f:\,t\mapsto y$$其中 `y`为纵坐标, `t\;(t_a\leqslant t\leqslant t_b)` 为参数。
因此当 `t` 连续变化时,`y` 也连续变化。因为 `t=t_a` 时, `y<0` 而 `t=t_b` 时,`y>0`,运用介值定理可知,至少存在一个 `t=t_0\in(t_a,t_b)` 使得 `y=0`.这就意味着曲线至少与横轴至少有一个交点。

你所理解的只是介值定理的一个最直观的简单的特例,陷入了只见树木不见森林的思维误区。
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