一组 9 次等幂和的简化

gxqcn

在 http://eslpower.org/ 中，首页给出了一组奇妙的结果：

2589701^k + 2972741^k + 6579701^k + 9388661^k + 9420581^k + 15740741^k + 15772661^k + 18581621^k + 22188581^k + 22571621^k
= 2749301^k + 2781221^k + 6835061^k + 8399141^k + 10314341^k + 14846981^k + 16762181^k + 18326261^k + 22380101^k + 22412021^k
( Prime solution,    k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )

我运用以前研究所得的定理，迅速将其简化为：
\[1^k+13^k+126^k+214^k+215^k+413^k+414^k+502^k+615^k+627^k=6^k+7^k+134^k+183^k+243^k+385^k+445^k+494^k+621^k+622^k \\ ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )\]
大家检验一下，是不是小了许多？

方法为：
1、先各数减去一个常数（2589701），使最小数为0；
2、将每个数除以它们的最大公约数（31920）；
3、最后，每个数依次加1.
以上步骤操作过程中，等幂和关系一直保持成立，这是其美妙之处。

gxqcn

如果将上述方法中的第3步修改成：“3、各数依次减去它们的算术平均值”，则可得到其更本质的结果：\[99^k+100^k+188^k+301^k+313^k=71^k+131^k+180^k+307^k+308^k \qquad (k=2,4,6,8)\]不过，要想凭空获得该结果，非常不易！

wayne

这个太神奇了。 除了野蛮搜索外，实在是无处下手呀。

ChenShuwen

wayne 发表于 2016-10-17 18:05
这个太神奇了。 除了野蛮搜索外，实在是无处下手呀。

文明搜索

ChenShuwen

Prime solution