五边形的面积平分点

hujunhua

从三角形的重心说起
众所周知，三角形ABC的重心G=(A+B+C)/3。
G一般被定义为三角形面积的几何中心，即是均质三角形板的重心。
但是，从公式上看，G也可理解为三点形ABC的质心（A、B、C三个质点等重）。
或曰：这有什么区别，不是当然的吗，还用多说吗？
胡子曰：那请试试四边形、五边形！

简单一试，四边形、五边形的两种重心果真有别！
容易证明，四边形当且仅当为平行四边形时，两心一心。

三角形的重心还有一条有趣的性质：与各顶点连线可平分三角形的面积。
易知，四边形当且仅当为平行四边形时，存在这样的面积平分点，即对角线交点。
五边形呢，面积平分点的存在自当更有所拘，而且条件只会更加复杂，一言难尽。

不过，即使对于边数更多的凸多边形，容易证明以下事实：
面积重心是顶点质心和面积平分点（如有）的一个三等分点。
记面积重心为G，顶点质心为M，则面积平分点=3G-2M.

我们的问题来了：什么时候点3G-2M才成为面积平分点呢？

hujunhua

如图所示，如果五边形`P_1P_2P_3P_4P_5`存在面积等分点A，
并且五个倚边三角形的重心为`G_1,G_2,G_3,G_4,G_5`,   `\D G_i=\frac{A+P_i+P_{i+1}}3`,(记`P_6=P_1`)

由于诸质点`G_i`等重（三角形面积），所以\[\D G=\frac{G_1+G_2+G_3+G_4+G_5}5=\frac23M+\frac{A}3\]即 G是M、A连线的一个三等分点，A=3G-2M。

hujunhua

三边形的G、M、A三心合一的性质对于多边形不再成立的原因，是因为我们推广时走错了方向，囿于平面的缘故。
实际上，对于4面体，三心合一仍然成立。对于5个顶点，就要论4维空间的单纯形了。

高维时的成立，都是基于一维时该性质的显然性。

方向性错误，R.柯朗称之为庸俗的推广。
但是，这个错误的方向会不会另入奇境，别有一番风景呢?

hujunhua

因为四边形只有平凡的面积平分点，具有非平凡面积平分点的多边形至少是五边形了。
所以，貌似五边形具有最紧致的约束。

所谓“紧致”，我们举几个例子来理解它。
例1：一般三角形恒有外接圆，但四边形就不一定了，
所以“四边形共圆的条件”是紧致的 , 而谈”五边形共圆的条件“就不紧致了，
问题显然可以归结为“四边形共圆的条件”。

例2：一般四边形恒有两条外接抛物线，但五边形就不一定了，
所以“五边形共抛物线的条件”是紧致的 , 而谈”六边形共抛物线的条件“就不紧致了，
问题显然可以归结为“五边形共抛物线的条件”。

例3：一般五边形恒有一条外接二次曲线，但是六边形就不一定了，
所以“六边形共二次曲线的条件”是紧致的 , 而谈”七边形共二次曲线的条件“就不紧致了，
问题显然可归结为“六边形共二次曲线的条件”。

我们用了“貌似”一词，盖因五边形的相对紧致性值得怀疑：六边形的面积平分点问题不能归结为五边形的问题。