泰勒展开后再代入反函数泰勒展开。结果有点迷糊。

wayne

ok,终于明白了。问题不是漂亮不漂亮了，而是对与错了。

在数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ，还有  $f^(-1)(f(x))=x$并不是对任意区间都成立的。
所以，Mathematica的表现是可以理解的。

zeroieme

wayne 发表于 2016-12-21 11:50
ok,终于明白了。问题不是漂亮不漂亮了，而是对与错了。

在数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ，还有  $f^(-1)( ...

数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ，但经过有限阶的泰勒展开就引进了“误差”，所以高于展开阶数的部分可以剔除。
Mathematica只是检验工具。

我的问题是：函数—逆函数两次泰勒展开在什么条件下能还原（剔除高于展开阶数的部分）。目前我看到只有原点可以。

wayne

嗯嗯，对于单值影射函数公式是恒成立的。
泰勒级数是函数在0处的展开。进行回环验证的时候，其实严谨的做法是应该把余项也加进来一块参与运算(使用无穷小相关的运算法则)。
然后，你会发现要想达到形式上的一致性，其实是要求函数存在初始值f(0) = 0。

凡是不满足$f(0) = 0$ 这个关系的$f(x)$都不能  形式上"复原"