和圆有关的最值问题

manthanein

过定点A作直线，交半径为r的定圆O于点P、Q
另外给定定点T
求：
（1）PQ的最值。
（2）∠PTQ的最值
（3）三角形PTQ面积的最值
（4）三角形PTQ周长的最值
（5）PT+TQ的最值
（6）PT^2+TQ^2的最值
（7）向量TP和向量TQ数量积的最值
…………
也许还有其他问题，先想想这些吧。
希望能有简单的方法。

manthanein

先试着解决下第一个问题，
如果点A在圆上，那么PQ最小为0（切线），最大为2r（直径）。
如果点A在圆内，设圆心到PQ的距离为l，那么可知：\(PQ=2\sqrt{r^2-l^2}\)。l越大，PQ越小；l越小，PQ越大。
因l不大于圆心到A的距离，所以PQ最大为2r，是圆的直径；最小为\(2\sqrt{r^2-OA^2}\)，此时\(OA\)垂直于\(PQ\)。

manthanein

如果点A在圆外，那么PQ最小为0，此时PQ是圆的切线。
\(PQ=2\sqrt{r^2-l^2}\)，\(l\)是圆心到PQ的距离。l越小，PQ越大。所以PQ最大为2r，此时PQ即直线OA。