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[讨论] 和圆有关的最值问题

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发表于 2017-4-23 18:18:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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过定点A作直线,交半径为r的定圆O于点P、Q
另外给定定点T
求:
(1)PQ的最值。
(2)∠PTQ的最值
(3)三角形PTQ面积的最值
(4)三角形PTQ周长的最值
(5)PT+TQ的最值
(6)PT^2+TQ^2的最值
(7)向量TP和向量TQ数量积的最值
…………
也许还有其他问题,先想想这些吧。
希望能有简单的方法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-26 22:05:52 | 显示全部楼层
先试着解决下第一个问题,
如果点A在圆上,那么PQ最小为0(切线),最大为2r(直径)。
如果点A在圆内,设圆心到PQ的距离为l,那么可知:\(PQ=2\sqrt{r^2-l^2}\)。l越大,PQ越小;l越小,PQ越大。
因l不大于圆心到A的距离,所以PQ最大为2r,是圆的直径;最小为\(2\sqrt{r^2-OA^2}\),此时\(OA\)垂直于\(PQ\)。
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 楼主| 发表于 2019-1-26 22:11:59 | 显示全部楼层
如果点A在圆外,那么PQ最小为0,此时PQ是圆的切线。
\(PQ=2\sqrt{r^2-l^2}\),\(l\)是圆心到PQ的距离。l越小,PQ越大。所以PQ最大为2r,此时PQ即直线OA。
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