ln1+2ln2+3ln3+...+nln(n) 有限项的和

王守恩

wayne 发表于 2019-2-13 11:03

wayne ！我们可以这样说吗？

   A(0) < T(n) < B(0)
   A(1) < T(n) < B(1)
   A(2) < T(n) < B(2)
   A(3) < T(n) < B(3)
   A(4) < T(n) < B(4)
   A(5) < T(n) < B(5)
   A(6) < T(n) < B(6)
   A(7) < T(n) < B(7)
   A(8) < T(n) < B(8)
   A(9) < T(n) < B(9)

\(\D T(n)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{1}{4^{2}}+\sqrt{\frac{1}{5^{2}}+\cdots\sqrt{\frac{1}{n^{2}}}}}}}}\)

\(A(0)=\sqrt{\frac{1^{2}+1}{1^{2}}}\)
\(A(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2^{2}+1}{2^{2}}}}\)
\(A(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{3^{2}+1}{3^{2}}}}}\)
\(A(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{4^{2}+1}{4^{2}}}}}}\)
\(A(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{1}{4^{2}}+\sqrt{\frac{5^{2}+1}{5^{2}}}}}}}\)
\(A(5)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{1}{4^{2}}+\sqrt{\frac{1}{5^{2}}+\sqrt{\frac{6^{2}+1}{6^{2}}}}}}}}\)
\(\cdots\cdots\cdots\)

\(B(0)=\sqrt{\frac{1^{2}+2}{1^{2}}}\)
\(B(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2^{2}+2}{2^{2}}}}\)
\(B(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{3^{2}+2}{3^{2}}}}}\)
\(B(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{4^{2}+2}{4^{2}}}}}}\)
\(B(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{1}{4^{2}}+\sqrt{\frac{5^{2}+2}{5^{2}}}}}}}\)
\(B(5)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{3^{2}}+\sqrt{\frac{1}{4^{2}}+\sqrt{\frac{1}{5^{2}}+\sqrt{\frac{6^{2}+2}{6^{2}}}}}}}}\)
\(\cdots\cdots\cdots\)

王守恩

烦请会电脑的网友用数据验算一下(不用证明)：
下面的不等号是不是成立，或者能举个反例更好，不胜感谢！
   
   A(0) < T(n) < B(0)
   A(1) < T(n) < B(1)
   A(2) < T(n) < B(2)
   A(3) < T(n) < B(3)
   A(4) < T(n) < B(4)
   A(5) < T(n) < B(5)
   A(6) < T(n) < B(6)
   A(7) < T(n) < B(7)
   A(8) < T(n) < B(8)
   A(9) < T(n) < B(9)


\(\D T(n)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{4}+\cdots\sqrt{\frac{1}{n}}}}}}\)
\(\D A(0)=\sqrt{\frac{1+1}{1}}\)
\(\D A(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}}\)
\(\D A(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3+1}{3}}}}\)
\(\D A(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{4+1}{4}}}}}\)
\(\D A(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{5+1}{5}}}}}}\)

\(\D\cdots\cdots\)

\(\D B(0)=\sqrt{\frac{1+1}{1}}\)
\(\D B(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2+2}{2}}}\)
\(\D B(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3+2}{3}}}}\)
\(\D B(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{4+2}{4}}}}}\)
\(\D B(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{5+2}{5}}}}}}\)

\(\D\cdots\cdots\)

王守恩

wayne 发表于 2018-7-3 20:39
指数为负的时候，级数是发散的。通过解析延拓可扩大定义范围（https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic ...

谢谢wayne！ 左边不好算，右边好算。


\(公式(1)：\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[A]{k}}=\frac{A}{A-1}\cdot  n^{\frac{A-1}{A}}+\zeta\bigg(\frac{1}{A}\bigg)\ 譬如：\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[2]{k}}=\frac{2}{1}\cdot  n^{\frac{1}{2}}+\zeta\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[3]{k}}=\frac{3}{2}\cdot  n^{\frac{2}{3}}+\zeta\bigg(\frac{1}{3}\bigg)\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[4]{k}}=\frac{4}{3}\cdot  n^{\frac{3}{4}}+\zeta\bigg(\frac{1}{4}\bigg)\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[5]{k}}=\frac{5}{4}\cdot  n^{\frac{4}{5}}+\zeta\bigg(\frac{1}{5}\bigg)\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[6]{k}}=\frac{6}{5}\cdot  n^{\frac{5}{6}}+\zeta\bigg(\frac{1}{6}\bigg)\)
              \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[7]{k}}=\frac{7}{6}\cdot  n^{\frac{6}{7}}+\zeta\bigg(\frac{1}{7}\bigg)\)
            
              \(\D\cdots\cdots\)

\(公式(2)：\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{A}}=\frac{A^{-1}}{A^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{A^{-1}-1}{A^{-1}}}+\zeta\bigg(A\bigg)\ 譬如：\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}=\frac{2^{-1}}{2^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{2^{-1}-1}{2^{-1}}}+\zeta\bigg(2\bigg)\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}=\frac{3^{-1}}{3^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{3^{-1}-1}{3^{-1}}}+\zeta\bigg(3\bigg)\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}=\frac{4^{-1}}{4^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{4^{-1}-1}{4^{-1}}}+\zeta\bigg(4\bigg)\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{5}}=\frac{5^{-1}}{5^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{5^{-1}-1}{5^{-1}}}+\zeta\bigg(5\bigg)\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{6}}=\frac{6^{-1}}{6^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{6^{-1}-1}{6^{-1}}}+\zeta\bigg(6\bigg)\)
               \(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{7}}=\frac{7^{-1}}{7^{-1}-1}\cdot  n^{\frac{7^{-1}-1}{7^{-1}}}+\zeta\bigg(7\bigg)\)
           
               \(\D\cdots\cdots\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-4-5 09:06
谢谢wayne！ 左边不好算，右边好算。

我们可以这样说吗？

\(\D\sum_{k=2}^{n}\ \zeta k\ =n\)