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[求助] ln1+2ln2+3ln3+...+nln(n) 有限项的和

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发表于 2018-6-9 08:58:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求助:ln1+2ln2+3ln3+4ln4+...+nln(n)  有限项的和
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-9 17:22:18 | 显示全部楼层

=n∑ln(n)-∑ln1-∑ln2-∑ln3-...-∑ln(n-2)-∑ln(n-1)

然后楼主逐个应用:∑ln(m)≈mlnm-m+(lnm)/2+(ln2π)/2+1/12m 的公式慢慢化简吧

点评

谢谢qingjiao!  发表于 2018-6-12 15:42
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发表于 2018-6-9 20:11:34 | 显示全部楼层
不好意思,楼上的算法可能只有一个循环的结果,建议通过ln(1+x)的展开式求和。

ln(n-r)=ln[(n-r)/n]+ln(n)=ln(1-r/n)+ln(n)=-r/n-(1/2)(r/n)^2-(1/3)(r/n)^3-...+ln(n),r=1,2,3,..., n-1

这样可以将每个ln(m)=ln(n-r)项展开,楼主再慢求和简化吧。



点评

谢谢qingjiao!  发表于 2018-6-12 15:42
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发表于 2018-6-11 19:35:07 | 显示全部楼层
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula

$$\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)~{\rm {d}}x={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\cdots +B_{2k}{\frac {f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)}{(2k)!}}+R_{2k}.$$
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 楼主| 发表于 2018-6-12 14:51:19 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-6-11 19:35
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula

$$\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n} ...


      求助。我们可以这样说吗?

     \(\D\lim_{\theta\to\infty}\frac{n\ln(1)+n\ln(2)+n\ln(3)+...+n\ln(n)}{1\ln(1)+2\ln(2)+3\ln(3)+...+n\ln(n)}=2\)

         


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发表于 2018-6-12 17:03:02 | 显示全部楼层
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem
设\((a_n)_{n\ge 1}\)和\((b_n)_{n\ge 1}\) 是两个实数序列。如果\((b_n)_{n\ge 1}\) 严格单调增而且发散,而且极限\(\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l\)
那么必然有\(\lim_{n->\infty}\frac{a_n}{b_n}=l\)
所以取\(a_n=n\ln(1)+n\ln(2)+...+n\ln(n), b_n=1\ln(1)+2\ln(2)+...+n\ln(n)\)
于是\((b_n)_{n\ge 1}\)严格单调增,
而\(\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n->\infty}\frac{\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n)+(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)\ln(n+1)}=1+\lim_{n->\infty}\frac{\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n)}{(n+1)\ln(n+1)}=1+\lim_{n->\infty}\frac{\ln(n!)}{(n+1)\ln(n+1)}\)
根据Stirling公式$\ln(\sqrt(2pi n))+n\ln(n)-n\lt \ln(n!) \lt\ln(\sqrt(2pi n))+n\ln(n)-n+1/{12n}$
所以\(\lim_{n->\infty}\frac{\ln(n!)}{(n+1)\ln(n+1)}=1\)
也就是\(\lim_{n->\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=2\)

点评

嗨!真是这样的!!谢谢mathe!!!我来慢慢享受。  发表于 2018-6-12 17:21
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 楼主| 发表于 2018-6-16 10:17:54 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-6-12 17:03
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem
设\((a_n)_{n\ge 1}\)和\((b_n)_{n\ge ...


谢谢mathe!照葫芦画瓢,我还是画不好。下面的算式能成立吗?


\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln(1))^n+(\ln(2))^n+(\ln(3))^n+\cdots+(\ln(n))^n}{(\ln(1))^1+(\ln(2))^2+(\ln(3))^3+\cdots+(\ln(n))^n}=\ln(n)\)

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王老师上下各除以ln(n)^n,……………………结果是1  发表于 2018-6-16 22:23
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 楼主| 发表于 2018-6-19 19:57:20 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-6-12 17:03
https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem
设\((a_n)_{n\ge 1}\)和\((b_n)_{n\ge ...

7楼的算式有问题,我来改一下!


\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln(1))^n+(\ln(2))^n+(\ln(3))^n+\cdots+(\ln(n))^n}{(\ln(1))^2+(\ln(2))^3+(\ln(3))^4+\cdots+(\ln(n))^{(n+1)}}=1\)



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 楼主| 发表于 2018-6-22 06:08:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-6-22 06:46 编辑


  谢谢mathe!求助!我是算不好的!

\(\ \ \ \D 若\lim_{n\to\infty}a_{n}=a,a_{n}\gt 0 (n=1,2,3,\cdots),计算极限:\)

\(\ \ \ \ \ \ \D \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to0}\left(\frac{a_{1}^x+a_{2}^x+a_{3}^x+\cdots+a_{n}^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}\)
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发表于 2018-6-22 13:19:03 | 显示全部楼层
\(\lim_{x\to0}\left(\frac{a_{1}^x+a_{2}^x+a_{3}^x+\cdots+a_{n}^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}\)
所以9#的答案很显然。8#的也没有问题,其实只要分子分母都和$\ln^{n+1}(n)$比较即可

点评

能看明白你7#中的意思,但是数学上不能这样表示  发表于 2018-6-22 15:56
谢谢mathe!不好意思还是追问:7#没问题(原谅饿汉扑在面包上的感觉)?谢谢!  发表于 2018-6-22 14:23
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