如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ＞1+e

shufubisheng

本论坛已经解决 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4的证明问题，那如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ＞1+e 呢？（其中，x＞0）

shufubisheng

可以证明：

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数

2、g(x)=(1+x)^(1/x)是减函数

shufubisheng

shufubisheng 发表于 2018-9-16 12:01
可以证明：

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数

在x∈[1/2，1]内，

f(x)+g(x)＞f(1/2)+g(1)=√3+2＞1+e

shufubisheng

shufubisheng 发表于 2018-9-16 12:01
可以证明：

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数

在x∈[0，1/2]内，有以下双不等式成立：

       f(x) - 1 ≥ ex/2 ≥ e - g(x)

问题在于如何证明此双不等式成立呢？

mathe

作图 f(x)-1-ex/2=(1+1/x)^x-1-ex/2: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2B1%2Fx)%5Ex-1-e*x%2F2
可以看出我们需要证明f(0)-1=0,f(1/2)-1-e/4>=0, f''(x)<=0
同样作图g(x)+ex/2-e=(1+x)^(1/x)+ex/2-e: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx)%5E(1%2Fx)%2Bex%2F2-e
可知我们只需要证明 g(0)-e=0, g'(x)+e/2>0
采用我在另外一个帖子中符号，f(x)=V(x)=exp(v(x)), g(x)=U(x)=exp(u(x)), 于是只要证明v'(x)^2+v''(x)<=0 , u'(x)>-e/2
另外一个帖子中已经给出u'(x)单调增而且u'(0)=-1/2>-e/2,所以u'(x)>-e/2没有任何问题。
而$v'(x)=\ln(1+1/x)-1/(1+x)=-ln(1-1/{1+x})-1/{1+x}>0, v''(x)=-1/{x(x+1)^2}$
所以我们只需要证明$v'(x)<\sqrt{-v''(x)}$,即$\ln(1+1/x)-1/(1+x)<1/{(x+1)\sqrt(x)}$
函数$\ln(1+1/x)-1/(1+x)-1/{(x+1)\sqrt(x)}$的导数是${3x+1-2\sqrt(x)}/{2x\sqrt(x)(x+1)^2}={2x+(\sqrt(x)-1)^2}/{2x\sqrt(x)(x+1)^2}>0$,
而且函数$\ln(1+1/x)-1/(1+x)-1/{(x+1)\sqrt(x)}$在$x->+\infty$时趋向0，所以函数恒大于0，得证

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-20 12:53
作图 f(x)-1-ex/2=(1+1/x)^x-1-ex/2: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2B1%2Fx)%5Ex-1-e*x%2F2
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感谢管理员提供作图地址和高超证明。