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[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) >1+e

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发表于 7 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本论坛已经解决 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4的证明问题,那如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) >1+e 呢?(其中,x>0)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
可以证明:

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数

2、g(x)=(1+x)^(1/x)是减函数
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-16 12:01
可以证明:

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数

在x∈[1/2,1]内,

f(x)+g(x)>f(1/2)+g(1)=√3+2>1+e
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 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-17 16:33 编辑
shufubisheng 发表于 2018-9-16 12:01
可以证明:

1、 f(x)=(1+1/x)^x 是增函数


在x∈[0,1/2]内,有以下双不等式成立:

       f(x) - 1 ≥ ex/2 ≥ e - g(x)

问题在于如何证明此双不等式成立呢?
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