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[提问] 三角形 ABC,D 是 AB 的中点,在 CD 上找一点 P,使 ∠APB=90°

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发表于 2020-1-18 12:11:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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三角形 ABC,D 是 AB 的中点,在 CD 上找一点 P,使 ∠APB=90°,则

\(\D\frac{\sin(\angle PAC)\cos(\angle PAC)}{\sin(\angle PBC)\cos(\angle PBC)}=\frac{CB^2}{CA^2}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-19 08:17:30 | 显示全部楼层
楼主这个题相当水:

1、表述不清:到底 是“找点”,还是求证?数学语言表达很成问题!

2、若为求证,实际上结论并不成立!
反例为:若 \(AC \perp BC\),
则 \(\angle PAC = \angle PBC = \phantom{9}0\degree\)(此时 点 \(P\) 与  点 \(C\) 重合),
或 \(\angle PAC = \angle PBC = 90\degree\)(此时四边形 \(APBC\) 为矩形),
但无论哪种情形,若 \(AC \ne BC\),待证之式显然不成立。

点评

其实,这两种情形只是左边为 \(\dfrac{0}{0}\) 的不定式而已,结论还是成立的;当时未细看。  发表于 2020-1-20 11:15
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 楼主| 发表于 2020-1-19 11:40:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-1-19 15:18 编辑
gxqcn 发表于 2020-1-19 08:17
楼主这个题相当水:

1、表述不清:到底 是“找点”,还是求证?数学语言表达很成问题!


谢谢 gxqcn! 表述确实不清。

三角形 ABC,D 是 AB 的中点,已知 DC 上有一点 P,满足 ∠APB=90°,求证:

\(\D\frac{\sin(∠PAC)\cos(∠PAC)}{\sin(∠PBC)\cos(∠PBC)}=\frac{CB^2}{CA^2}\)

说明:P可以在DC(三角形内部)上,也可以在DC(三角形外部)的延长线上,但不能与C重合。
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 楼主| 发表于 2020-1-20 09:55:16 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2020-1-20 09:08
我估计这只是楼主自己的一个猜测,考虑得不够成熟。

楼主在我回复后,重新编辑了3#,强调点 \(P\) 需在  ...

我估计这只是楼主自己的一个猜测,考虑得不够成熟。
360截图20200120095055547.png
360截图20200120095154968.png
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 楼主| 发表于 2020-1-20 10:45:03 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2020-1-20 09:08
我估计这只是楼主自己的一个猜测,考虑得不够成熟。

楼主在我回复后,重新编辑了3#,强调点 \(P\) 需在  ...

我估计这只是楼主自己的一个猜测,考虑得不够成熟。
360截图20200120104036689.png
360截图20200120104122785.png
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发表于 2020-1-20 10:54:00 | 显示全部楼层
是我搞错了点C与点D重合时的情形,导致否定了你的结果,对不起!
之前因为看到一些特殊情况,左边是不定式,对你的结果发出了质疑;有点先入为主了。

其实,只要角度非0或非90°,结论都是成立的(包括点P在CD延长线上的情形)。
即便是排除的这两种特殊情形,只是左边为 \(\frac{0}{0}\) 的不定式而已,结论还是可看作成立的;当时未细琢磨。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-20 12:01:07 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2020-1-20 10:54
是我搞错了点C与点D重合时的情形,导致否定了你的结果,对不起!
之前因为看到一些特殊情况,左边是不定式 ...

谢谢 gxqcn!
其实,只要角度非 0 或非 90°,结论都是成立的(包括点 P 在 CD 延长线上的情形)。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-20 20:31:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-1-20 20:54 编辑
王守恩 发表于 2020-1-20 12:01
谢谢 gxqcn!
其实,只要角度非 0 或非 90°,结论都是成立的(包括点 P 在 CD 延长线上的情形)。

谢谢 gxqcn!
其实,只要角度非 0 或非 90°,结论都是成立的(包括点 P 在 CD 延长线上的情形)

4#,5#,8#小结
只要 DC≠DP 也i可以。
360截图20200120202750720.png
360截图20200120202841574.png
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 楼主| 发表于 2020-1-21 12:43:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-1-21 19:15 编辑
王守恩 发表于 2020-1-20 20:31
谢谢 gxqcn!
其实,只要角度非 0 或非 90°,结论都是成立的(包括点 P 在 CD 延长线上的情形)


换种说法。锐角三角形 ABC,D 是 AB 的中点,P 是 CD 上的点,
已知 CA=3,CB=2,CP=1,求证:当 ∠APB=90° 时,AB 取到的值是极小值。
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