三角形 ABC，D 是 AB 的中点，在 CD 上找一点 P，使 ∠APB=90°

王守恩

三角形 ABC，D 是 AB 的中点，在 CD 上找一点 P，使 ∠APB=90°，则

\(\D\frac{\sin(\angle PAC)\cos(\angle PAC)}{\sin(\angle PBC)\cos(\angle PBC)}=\frac{CB^2}{CA^2}\)

gxqcn

楼主这个题相当水：

1、表述不清：到底 是“找点”，还是求证？数学语言表达很成问题！

2、若为求证，实际上结论并不成立！
反例为：若 \(AC \perp BC\)，
则 \(\angle PAC = \angle PBC = \phantom{9}0\degree\)（此时 点 \(P\) 与  点 \(C\) 重合），
或 \(\angle PAC = \angle PBC = 90\degree\)（此时四边形 \(APBC\) 为矩形），
但无论哪种情形，若 \(AC \ne BC\)，待证之式显然不成立。

王守恩

gxqcn 发表于 2020-1-19 08:17
楼主这个题相当水：

1、表述不清：到底 是“找点”，还是求证？数学语言表达很成问题！

谢谢 gxqcn！ 表述确实不清。

三角形 ABC，D 是 AB 的中点，已知 DC 上有一点 P，满足 ∠APB=90°，求证：

\(\D\frac{\sin(∠PAC)\cos(∠PAC)}{\sin(∠PBC)\cos(∠PBC)}=\frac{CB^2}{CA^2}\)

说明：P可以在DC(三角形内部)上，也可以在DC(三角形外部)的延长线上，但不能与C重合。

王守恩

gxqcn 发表于 2020-1-20 09:08
我估计这只是楼主自己的一个猜测，考虑得不够成熟。

楼主在我回复后，重新编辑了3#，强调点 \(P\) 需在  ...

我估计这只是楼主自己的一个猜测，考虑得不够成熟。

王守恩

gxqcn 发表于 2020-1-20 09:08
我估计这只是楼主自己的一个猜测，考虑得不够成熟。

楼主在我回复后，重新编辑了3#，强调点 \(P\) 需在  ...

我估计这只是楼主自己的一个猜测，考虑得不够成熟。

gxqcn

是我搞错了点C与点D重合时的情形，导致否定了你的结果，对不起！
之前因为看到一些特殊情况，左边是不定式，对你的结果发出了质疑；有点先入为主了。

其实，只要角度非0或非90°，结论都是成立的（包括点P在CD延长线上的情形）。
即便是排除的这两种特殊情形，只是左边为 \(\frac{0}{0}\) 的不定式而已，结论还是可看作成立的；当时未细琢磨。

王守恩

gxqcn 发表于 2020-1-20 10:54
是我搞错了点C与点D重合时的情形，导致否定了你的结果，对不起！
之前因为看到一些特殊情况，左边是不定式 ...

谢谢 gxqcn！
其实，只要角度非 0 或非 90°，结论都是成立的（包括点 P 在 CD 延长线上的情形）。

王守恩

王守恩 发表于 2020-1-20 12:01
谢谢 gxqcn！
其实，只要角度非 0 或非 90°，结论都是成立的（包括点 P 在 CD 延长线上的情形）。

谢谢 gxqcn！
其实，只要角度非 0 或非 90°，结论都是成立的（包括点 P 在 CD 延长线上的情形）

4#，5#，8#小结
只要 DC≠DP 也i可以。

王守恩

王守恩 发表于 2020-1-20 20:31
谢谢 gxqcn！
其实，只要角度非 0 或非 90°，结论都是成立的（包括点 P 在 CD 延长线上的情形）

换种说法。锐角三角形 ABC，D 是 AB 的中点，P 是 CD 上的点，
已知 CA=3,CB=2,CP=1，求证：当 ∠APB=90° 时，AB 取到的值是极小值。