数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 1445|回复: 4

四面体的棱长组合计数

[复制链接]
发表于 2017-5-4 22:28:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
【问题】以长度为11,12,13,14,15,16的六条线段为棱,能够搭建多少个不同的四面体?
(镜像对称而不能旋转重合的两个四面体亦视为不同)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-5 16:01:02 | 显示全部楼层
镜像对称的(也就是一个顶点不变,余下三个改变方向的)先看成一样,那么显然总数为${6!}/{4!}=30$种
如果考虑镜像对称的看成不同,每个就可以有两个不同的取向,所以应该$60$种。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-5 17:01:10 | 显示全部楼层

四面体的棱长组合计数1

@mathe 边长置换数 / 顶点置换数,妙!

有一个同学是这么计数的:边长置换数为6!,一个三棱锥有3个旋转,所以一个四面体有12个旋转,故除去旋转相同的共是6!/12=60种。

两者一样很巧妙啊。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-5 17:10:35 | 显示全部楼层

四面体的棱长组合计数2

一个同学用的分类统计法:

11,12,13三条边的位置关系可分为以下3种:
一、构成三角形,这类共有2*3!=12种
二、构成Y字形,这是三角形的对偶形,所以也是2*3!=12种
三、构成Z字形,共有2*3*3!=36种
所以总共是12+12+36=60种。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-5 17:18:40 | 显示全部楼层
另一个同学的分类统计法:

考虑11边的对边,共有5种选择,剩下的四条边构成一个回路,圆排列数=3!共有5*3!=30种。
再将11与对边互换位置,也有30种。
总计60种。
感觉这个分类比上面的简明。但是好像有问题,跟圆排列有什么关系呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-2-27 15:23 , Processed in 0.057302 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表