正n边形内，求n+1个部分的等内切圆半径

iseemu2009

如图所示，正五边形的边长为100，从五个顶点发出的五条射线在内部相交，形成了五个全等的小三角形和一个小的正五边形，这六个部分内部都有一个半径相等的内切圆。
问题一：求等圆的半径。
问题二：本问题推广到正n边形（n≥3），求等圆半径的通项公式。

正多边形内等圆

northwolves

设正n边形边长为1，三角形的另两边分别为x,y(x<y), 内接圆半径为r,可以联立方程组：
$y=2 r \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)+x,r (x+y+1)=2 \left(\frac{1}{4 \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}-r^2 \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\right),-\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right)=\frac{x^2+y^2-1}{2 x y}$
解得：
$r=\frac{cos\frac{\pi}{n}(\sqrt{1+cos^2\frac{\pi}{n}}-cos\frac{\pi}{n})}{2tan\frac{\pi}{n}}$

northwolves

对于楼主的题目,$n=5,r=\frac{50}{\sqrt{2 \left(-13 \sqrt{5}+\sqrt{515-230 \sqrt{5}}+30\right)}}$.不知道计算得对不对

王守恩

northwolves 发表于 2025-1-28 08:19
对于楼主的题目,$n=5,r=\frac{50}{\sqrt{2 \left(-13 \sqrt{5}+\sqrt{515-230 \sqrt{5}}+30\right)}}$.不知 ...

N[Solve[{100/Sin[72 \[Pi]/180] == x/Sin[2 a \[Pi]/180] == y/Sin[(108 - 2 a) \[Pi]/180], (200 Sin[a \[Pi]/180] Sin[(54 - a) \[Pi]/180])/Cos[36 \[Pi]/180] == (y - x)*Cot[18 \[Pi]/180] == 2 r, 90 > a > 0}, {a, x, y, r}], 20]

{{a -> 23.232522627672978155, x -> 76.226204799212171393, y -> 92.434890761040904805, r -> 24.942602971981965300}}

错啦！订正一下。

N[Solve[{100/Sin[72 \[Pi]/180] == x/Sin[2 a \[Pi]/180] == y/Sin[(108 - 2 a) \[Pi]/180], (200 Sin[a \[Pi]/180] Sin[(54 - a) \[Pi]/180])/Cos[36 \[Pi]/180] == (y - x)*Cot[36 \[Pi]/180] == 2 r, 90 > a > 0}, {a, x, y, r}], 20]

{{a -> 19.105900902944870963, x -> 65.040325441557098368, y -> 98.671515532598310732, r -> 23.144681002619202751}}

mathe

假设正n边形边长为1，内切圆半径为R, 小圆半径为r,割出三角形最小角为\(\theta\)。
于是根据正弦定理，割出三角形最短边长度为\(\frac{\sin(\theta)}{\sin(\frac{2\pi}n)}\), 多边形内部的长边为\(\frac{\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)}{\sin(\frac{2\pi}n)}\)， 于是内部正n边形边长为两者差即\(\frac{\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)-\sin(\theta)}{\sin(\frac{2\pi}n)}=\frac{r}{R}\)。
另外一方面，整个正n边形面积为周长的一半乘上内切圆半径为\(\frac{nR}2\)。小三角形面积也为周长一半乘上内切圆半径，小正n边形类似，根据面积关系得到
\(\frac{nR}2=nr\frac{\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)-\sin(\theta)}{2\sin(\frac{2\pi}n)}+nr(\frac12+\frac{\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)+\sin(\theta)}{2\sin(\frac{2\pi}n)})\)
由此得到
\(\frac{R}{r}=\frac{2\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)+\sin(\frac{2\pi}n)}{\sin(\frac{2\pi}n)}\)
于是可以得到\(\theta\)的方程\(\frac{2\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)+\sin(\frac{2\pi}n)}{\sin(\frac{2\pi}n)}=\frac{\sin(\frac{2\pi}n)}{\sin(\pi-\frac{2\pi}{n}-\theta)-\sin(\theta)}\)
比如对于n=5,我们可以数值求解得到\(\theta=0.66692175463229115387165104660007720196\), 然后得到在边长为100时r=23.144681002619202751047530827899795630

wayne

楼上的继续化简,也即是解关于$\theta$的方程$1+2 \cos(\theta +\frac{2 \pi }{n})-\cos (\frac{2 \pi }{n})=0$, 代入得, $r=L*\frac{1}{4} (\cos (\frac{\pi }{n}) \sqrt{2 (3-\cos (\frac{2 \pi }{n}))}-\sin (\frac{2 \pi }{n})))$

王守恩

楼上的继续化简——$r=L*\frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{n})(\sqrt{1+\sin(\frac{\pi}{n})^2}-\sin(\frac{\pi}{n})))$

Table[N[Cos[Pi/n] (Sqrt[1 + Sin[Pi/n]^2] - Sin[Pi/n])/2], {n, 3, 19}]

Table[NSolve[{Cos[a Pi/180 + Pi/n] Sin[a Pi/180]/Cos[Pi/n] == (Sin[2 a Pi/180 + 2 Pi/n] - Sin[2 a Pi/180])/(4 Sin[Pi/n]^2) == r, 45 > a > 0}, {a, r}], {n, 3, 19}]

northwolves

northwolves 发表于 2025-1-28 08:14
设正n边形边长为1，三角形的另两边分别为x,y(x

方程组错了一个正负号：

设正n边形边长为1，三角形的另两边分别为x,y(x<y), 内接圆半径为r,可以联立方程组：

$y=2 r \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)+x,r (x+y+1)=2 \left(\frac{1}{4 \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}-r^2 \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\right),\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right)=\frac{x^2+y^2-1}{2 x y}$

解得：
$r=\frac{1}{2} \left(\sqrt{1+\sin ^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}-\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\right) \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$

对于$n=5$,有$r=\frac{25}{2} \sqrt{11+3 \sqrt{5}-\sqrt{110+42 \sqrt{5}}}$

northwolves

或者

$r=\frac{1}{2 \left(\sqrt{1+2 \tan ^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}+\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\right)}$

iseemu2009

对于正 n 边形，边长为 d，则 n+1 个内切圆的另一个变形通项公式如上图所示。
另外提一个小问题：对于边长为 d 的正 n 边形，外围 n 个等圆的圆心构成的正 n 边形的边长表达式是什么？