正n边形内，求n+1个部分的等内切圆半径

王守恩

iseemu2009 发表于 2025-2-3 10:46
对于正 n 边形，边长为 d，则 n+1 个内切圆的另一个变形通项公式如上图所示。
另外提一个小问题：对于边长 ...

正n边形边长为1, 内正n边形边长={0.395644, 0.366025, 0.336312, 0.309017, 0.284709, 0.263301, 0.244494, 0.227943, 0.213327, 0.20036, 0.188801, 0.178448, 0.169131, 0.160708, 0.153062, 0.146093, 0.139718}

1. Table[N[(Sqrt[1 + Sin[Pi/n]^2] - Sin[Pi/n]) Sin[Pi/n]], {n, 3, 19}]

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补充内容 (2025-2-4 17:02):
错啦！Table[N[(Sqrt[1 + Sin[Pi/n]^2] - Sin[Pi/n])], {n, 3, 19}]

northwolves

对于边长为 d 的正 n 边形，外围 n 个等圆的圆心构成的正 n 边形的边长表达式是什么？
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$d_2=d*\sqrt{\frac{\sqrt{2+\cot ^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}-1}{\sqrt{2+\cot ^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}+1}}=d*(\sqrt{1+\sin ^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}-\sin \left(\frac{\pi }{n}\right))$

对于$n=5$,可得：$d_2=\sqrt{\frac{13}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}}-\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}}\approx 0.572168$

iseemu2009

下面对本问题给出一个梳理，并给出结论。

iseemu2009

以下为正三角形和正四边形时的示意图

iseemu2009

以下为正五边形和正六边形的示意图

iseemu2009

问题的结论