自然数前段的均衡样本

mathe

然后我们查看$C_h(n)$,其中同样可以根据$X_1,Y_1$的值进行分类
i)$X_1<a-2,Y_1>a+2+h$,这一部分的数目正好是$|C_h(n-1)|$
ii)$X_1=a-2,Y_1=a+2+h+u,u>=0$,这一部分数目为$|D_{h,u}(n)|$
iii)$X_1=a-2-u,Y_1=a+2+h,u>0$，记这种模式的集合为$E_{h,u}(n)$
如果h=0,根据对称性，可以转化为$D_{0,u}(n)$
如果h=1,元素$(X_2,a-2-u,a-1,a,a+1+h,a+2+h,Y_2)$可以映射为$(X_2,a-2-u,a-2,a+1,a+1+h,a+2+h,Y_2)$，然后再根据对称性，转化为$D_{3,u-1}(n)$
如果h>2,经过上面一次转化后，可以再次转化为$(X_2+2,a-u,a,a+1,a-1+h,a+h,Y_2-2)$
也就是每轮可以n减2，u减2，h减2,也就是$|E_{h,u}(n)|=|E_{h-2,u-2}(n-2)|,h>=2,u>=2,n>=2$

mathe

用我这种方法，那么在K=7时，我们分别递推需要计算E,D,C,A等数目的数组。
不过用这个方法如果推导公式，还是太复杂，工作量太大。但是如果用计算机计算，计算到数百项问题是不大的，而如果考虑到对于E,D,C等的下标，我们都可以规约到只需要计算下标比较小的部分，那么实际上可以转化成保存约十几个或数十个一维数组的问题，那么应该可以计算到n非常非常大的情况。

mathe

这个方法现在主要的缺点是对每个这样的数组，构造这些递推关系的逻辑有点复杂，如果这部分也可以将它转化为计算机来计算，那么计算比较大的K的情况问题也不大了

wayne

用合情猜想的模式来推导递推公式，37项足够了。且记Y_k(x)=\prod_{i=1}^{k-1}(x^i-1)，k元均衡样本数序列的特征多项式记为S_k(x)。我们的合情猜想是：Y_k(x)|S_k(x)
Y7(x)=1-x-x2 +x5+2x7 -x9-x10-x11-x12+2x14+x16 ...
hujunhua 发表于 2010-4-27 18:42

目前根据现有的数据，K=7的递推公式应该还是不能计算出来的，

你试试根据  $S_k(x)=(x^2-1)Y_k(x) $
计算，会发现数据都符合的很好的。。。

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可惜一时看不懂mathe的方法， 。。。

hujunhua

我还没开始研究mathe的方法，从他的说明来看，不一定能通向数学证明，但是很可能导致高效的算法

hujunhua

44#，S₇(x)=(x²-1)Y₇(x)? 不太可能吧

30#的理论是正确的，如果计算过程中数据没有错误，应该是S₇(x)=(x-1)Y₇(x)。

若S₇(x)=(x²-1)Y₇(x)，则相应的b_n就是二值交错数列，即b_n+2=b_n, 但30#验算的结果是，b_n是常数数列。

wayne

42# mathe
推导公式还是留给Mathematica吧，
一条函数命令FindLinearRecurrence就可以搞定

现在最缺的就是数据了，

wayne

46# hujunhua
我现在有点晕了，发现不管是x-1还是x^2-1，迭代结果都一样.


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K=7计算得到的可靠数据是：

1. dd = {0, 0, 0, 1, 4, 24, 94, 289, 734, 1656, 3370, 6375, 11322, 19138,30982, 48417, 73316, 108108, 155646, 219489, 303748, 413442, 554256, 733005, 957332, 1236222, 1579666, 1999265, 2507780, 3119876, 3851588, 4721127, 5748298, 6955424, 8366614, 10008857, 11911188};

复制代码

然后我分别用x-1,x^2-1乘以Y₇(x), 各自迭代100项，都是：

{0, 0, 0, 1, 4, 24, 94, 289, 734, 1656, 3370, 6375, 11322, 19138,30982, 48417, 73316, 108108, 155646, 219489, 303748, 413442, 554256, 733005, 957332, 1236222, 1579666, 1999265, 2507780, 3119876, 3851588, 4721127, 5748298, 6955424, 8366614, 10008857, 11911188, 14105854,16627422, 19514081, 22806570, 26549686, 30791082, 35582861, 40980304, 47043624, 53836482, 61427973, 69890996, 79304338, 89750960, 101320263, 114106128, 128209452, 143736016, 160799129, 179517404, 200017604, 222432142, 246902225, 273575162, 302607632, 334162882, 368414221, 405541910, 445736988, 489197948, 536134693, 586765096,641319204, 700035456, 763165251, 830968928, 903720482, 981703412, 1065215705, 1154565314, 1250075536, 1352080232, 1460929361, 1576984058, 1700622462, 1832234386, 1972227573, 2121022086, 2279056734, 2446783308, 2624673317, 2813211790, 3012904472, 3224271322, 3447853891, 3684208652, 3933914716, 4197566692, 4475782893, 4769197874, 5078470830, 5404277956, 5747321201}

迭代了1000项，最后一项也都是6411703802545281


代码是

1. f = Product[x^ii-1,{ii, 1, 6}]; d= Reverse[-Drop[CoefficientList[f*(x-1), x], {-1}]];data = LinearRecurrence[d, dd[[1;;Length[d]]],100]

复制代码

hujunhua

一样嘛当然要选阶次较低的。这不奇怪，原因如下：

当按(x-1)Y₇(x)的展开式组合b_n时，得到恒零序列，这已经表明(x-1)Y₇(x)蕴含了S₇(x). 对恒零序列再怎么组合都是零，所以含(x-1)Y₇(x)的多项式都能迭代出原序列来，条件是初值足够。如果初值不够，可能迭代不出，或者掉项（比如只迭代出奇数项或者偶数项）。

hujunhua

但是按(x+1)Y₇(x)或者(x+2)Y₇(x)是不可能迭代出原序列的。