如何确定该递推式的初值，使其单调递增？

KeyTo9_Fans

数列$b_n$、$c_n$的初值如下：

$b_0=1$
$c_0=a-1$

递推式如下：

$b_{i+1}=(a-1)c_i-b_i/a^3$
$c_{i+1}=(a^2-2a)c_i-((a+2)b_i)/a^2$

我们希望数列${b_n}$、${c_n}$都是单调递增的。

问：$a$的最小值是多少？

mathe

a>3.037020661082984366816741397
方程a^4 - 3*a^3 - a + 2的最大正根

wayne

收敛速度好慢啊，
算到第100项，是 2.7458705684975073

KeyTo9_Fans

$2#$ mathe:

如何得到上述方程？

另外，$a=3$不也单调递增么？

#####

$3#$的结果使得前$100$项递增，第$101$项就不递增了……

wayne

4# KeyTo9_Fans
在计算过程中发现，只要c单调递增，则b也单调递增。

于是，接下来就直接计算c单调的情形，再结合矩阵的幂运算，可进一步提高计算速度。
算到第 5000项，
答案是   2.74589076649+

mathe

a=3时，c0=2,c1=17/9<2呀，是不是b0,c0不用管？

mathe

我不知道是否我理解有误，我们可以写成
$X_i=[(c_i),(b_i)],X_0=[(1),(a-1)]$
$M=[(a-1,-1/a^3),(a^2-2a,-(a+2)/a^2)]$
于是$X_i=M^iX_0$
我们要求向量$X_{i+1}-X_i$的所有分量都非负。实际计算发现检查前几项就可以了
如果不考虑$X_0$到$X_1$的递增性，我找到结果是a>2.540745731684290963599145158就可以了

mathe

原来是我将矩阵弄错了

mathe

设函数列$v_0=a-1,v_1=a^6-3a^5+2a^4-a^2-2a$
$v_{n+1}=(a^5-2a^4-1)v_n-a^6v_{n-1}$
那么猜测除了0以外，$v_{n+1}$的根比$v_n$正好多一个，而且$v_n$的所有正根都在$v_{n+1}$两个根之间。
当然，本题的极限就是$v_n$的最大正根在n趋向无穷时的极限

wayne

只需考虑c的单调性。
算出关于c的特征方程。
画出根轨迹图

得知，取极限的时候，特征根的判别式为0.
于是该值是1 + 4 a^4 - 2 a^5 - 4 a^6 + 4 a^8 - 4 a^9 + a^10 = 0 的最大根
2.7459375351847633654210619841592219932277961265538