如何确定该递推式的初值，使其单调递增？

KeyTo9_Fans

只需考虑c的单调性。
算出关于c的特征方程。
画出根轨迹图
3989
得知，取极限的时候，特征根的判别式为0.
于是该值是1 + 4 a^4 - 2 a^5 - 4 a^6 + 4 a^8 - 4 a^9 + a^10 = 0 的最大根
2.745937535184763365421 ...
wayne 发表于 2012-6-20 12:17

wayne大牛有才！

特征方程怎么得到的？

wayne

11# KeyTo9_Fans

我这是拼凑的，严格的计算还需要很多过程的。
=========
把第二个式子的b用c表示，代到第一个式子，消去b。。。
最终得到关于c的二阶差分方程。

wayne

11# KeyTo9_Fans
其实就是   x^5 - 2 x^4- 2 x^3-1  =0  的实根

KeyTo9_Fans

根据$12#$的提示……

把第二个式子的$b$用$c$表示，得

$b_i=(a^3(a-2))/(a+2)c_i-a^2/(a+2)c_{i+1}$

代到第一个式子，得

$(a^3(a-2))/(a+2)c_{i+1}-a^2/(a+2)c_{i+2}$
$=(a-1)c_i-b_i/a^3$
$=(a-1)c_i-((a^3(a-2))/(a+2)c_i-a^2/(a+2)c_{i+1})/a^3$
$=(a-1)c_i-(a-2)/(a+2)c_i+c_{i+1}/(a(a+2))$

所以

$a^2/(a+2)c_{i+2}=(a^3(a-2))/(a+2)c_{i+1}-(a-1)c_i+(a-2)/(a+2)c_i-c_{i+1}/(a(a+2))$

即

$c_{i+2}=a(a-2)c_{i+1}-((a-1)(a+2))/a^2 c_i+(a-2)/a^2 c_i-c_{i+1}/a^3$

$c_{i+2}=(a^5-2a^4-1)/a^3 c_{i+1}-c_i

接下来怎么做？

wayne

14# KeyTo9_Fans
可以这么分析：
$c_{n + 2} = (a^5 - 2 a^4 - 1)/{a^3} c_{n + 1} - c_{n}>=c_{n + 1}$
$( (a^5 - 2 a^4 - 1)/{a^3} -1) a_{n+1}>=a_n$
由于$c_{n+1}>=c_{n}$是最紧致的条件，
所以$( (a^5 - 2 a^4 - 1)/{a^3} -1) a_n>=a_n$
解得，刚好是大于等于 方程x^5 - 2 x^4- 2 x^3-1  =0  的实根

mathe

其实数列b和c的递推式是一样的，而对于递推式c(N+1)=u*c(N)-c(N-1),显然必须u>=2才能单调增，在u绝对值小于2时通项是三角函数。

mathe

总结一下：
对于二阶递推数列$x_{n+1}=ux_n-x_{n-1}$
假设特征多项式$x^2-ux+1=0$有两个不同实数根$r,1/r$,那么其通项可以写成$x_n=s*r^n+t/{r^n}$
于是如果r<0，那么数列不可能单调。
如果特征方程有两个复数根$z=exp{i\theta},\bar{z}=exp{-i\theta}$,那么其通项可以写成$x_n=s*cos(n\theta)+t*sin(n\theta)$,显然$x_n$也不单调。
所以如果数列$x_n$单调增，必然有$u>=2$
反之，如果已经有$u>=2$，而且$x_1>x_0>0$,那么由于$x_{n+1}-x_n=(u-1)x_n-x_{n-1}>x_n-x{n-1}>..>x_1-x_0>0$于是我们得出数列单调增。
切换到本题，我们有数列$b_n,c_n$满足递推式$b_{n+1}=u(a)b_n-b_{n-1},c_{n+1}=u(a)c_n-c_{n-1}$,其中$u(a)={a^5-2a^4-1}/{a^3}$,由此得出数列$b_n,c_n$单调增必须满足条件$a^5-2a^4-1>=2a^3$,得$a>=2.745937535184763365421061984$
另外我们知道$b_0=1,c_0=a-1,b_1={a^5-2a^4+a^3-1}/{a^3},c_1={a^5-3a^4+2a^3-a-2)/{a^2}$
于是我们知道在$a^5-2a^4-1>=2a^3$时
$b_1>=3>b+0$,而$c_1>c_0$要求$a^5-3a^4+2a^3-a-2-(a-1)a^2>0$,即$a>2.563396644586411611103421963$
也就是说在$a^5-2a^4-1>=2a^3$时总有$c_1>c_0$,所以我们得出这个已经是充分必要条件了