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[提问] 求阴影部分的面积

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发表于 2016-5-9 17:04:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最近有些人来问我题目,说是初中的,可是我只会用积分或者三角函数去做,在此冒昧请教各位老大,到底能不能用普通的方法(加加减减)就能算出来呢?

求阴影面积

求阴影面积
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-5-9 17:41:05 | 显示全部楼层
连接公共的弦,该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来,减之即可
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-30 13:58:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-12-30 17:07 编辑
  1. (*把正方形的四个顶点放在四个坐标轴上,原点是正方形的中心*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*先计算出两个坐标*)
  4. out={x}/.Solve[x^2+y^2==1&&x^2+(y+Sqrt[2])^2==2^2,{x,y}]
  5. out=Flatten@out
  6. y1=Sqrt[1-x^2]
  7. y2=-Sqrt[2]+Sqrt[2^2-x^2]
  8. (*积分计算面积,有两部分,所以乘以2*)
  9. mj=2*Integrate[y1-y2,{x,out[[1]],out[[2]]}]
  10. (*除以正方形面积4,再乘以a^2*)
  11. mj2=FullSimplify[mj/2^2]*a^2
复制代码


计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \csc ^{-1}\left(4 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)\right)\]
\[=\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}-\tan ^{-1}\left(\frac{1541 \sqrt{7}}{393}\right)\right)\]
又是一个伪装成初中题目的高数题目

用这个办法,再多的反三角函数都能合并,不过不知道还有没有更好的办法?
@chyanog


补充一张图如何化简
QQ截图20181230170211.png

点评

试试\(\tan ^{-1}(2)+\tan ^{-1}(3)+\tan ^{-1}(4)+\tan ^{-1}(5)+\tan ^{-1}(6)+\tan ^{-1}(7)+\tan ^{-1}(8)+\tan ^{-1}(9)+\tan ^{-1}(10)\)  发表于 2018-12-30 19:43
用这个办法,再多的反三角函数都能合并,不过不知道还有没有更好的办法?  发表于 2018-12-30 17:06
万岁[url=http://www.wolfram.com/mathematica]Mathematica[/url]的怎么才能学会  发表于 2018-12-30 16:23
把\(\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \csc ^{-1}\left(4 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)\right)\)  发表于 2018-12-30 16:22
简化成\(\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}-\tan ^{-1}\left(\frac{1541 \sqrt{7}}{393}\right)\right)\)呢  发表于 2018-12-30 16:22
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发表于 2018-12-30 15:28:03 来自手机 | 显示全部楼层
用余弦定理是可以做出来的,所以应该是高中生来做

点评

你是对的,初中生都不知道弧度制\余弦定理,怎么求?肯定要高中生水平  发表于 2019-1-1 13:53
很简单呀。交点,中心和正方形顶点构成三边长为$1,1/2,{\sqrt{2}}/2$的三角形,通过余弦定理可以计算出角  发表于 2019-1-1 09:41
怎么个余弦定理?我感觉必须求交点,不求交点似乎解不出来  发表于 2018-12-31 11:16
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发表于 2018-12-31 11:05:48 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-12-30 13:58
计算结果如下
\[\frac{1}{4} a^2 \left(\sqrt{7}+2 \csc ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{2}{7}}\right)-8 \ ...
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. a=Plus@@Table[ArcTan[k],{k,2,10}]
  3. FullSimplify@a
  4. N[a,10]
  5. b=N[Tan[a],1000]
  6. c=RootApproximant@b
  7. d=N[(a-ArcTan[c])/Pi,100]
  8. RootApproximant@d
  9. FullSimplify[a-(4*Pi+ArcTan[-(1062/3449)])]
复制代码

\[\tan ^{-1}(2)+\tan ^{-1}(3)+\tan ^{-1}(4)+\tan ^{-1}(5)+\tan ^{-1}(6)+\tan ^{-1}(7)+\tan ^{-1}(8)+\tan ^{-1}(9)+\tan ^{-1}(10)
=\frac{15 \pi }{4}+\tan ^{-1}\left(\frac{2387}{4511}\right)
=4 \pi -\tan ^{-1}\left(\frac{1062}{3449}\right)
\]

点评

数值解万岁  发表于 2018-12-31 15:58
数值解是12.2676679545492664808631813845333708946783377167044889090488478639918\ 481275951499326332  发表于 2018-12-31 15:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-1-1 12:48:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-1 13:01 编辑
wayne 发表于 2016-5-9 17:41
连接公共的弦,该弦在两个圆里构成的弓形面积都可以求出来,减之即可


设大圆半径为\(\ 1\),小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。

    1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积-大圆里构成的弓形面积

=(小圆里构成的扇形面积-小圆里构成的三角形面积)-(大圆里构成的扇形面积-大圆里构成的三角形面积)

=\((\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\theta_1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_1)-(1\times 1\times\frac{1}{2}\times\theta_2-1\times 1\times\frac{1}{2}\times\sin\theta_2)\)

\(=0.14638125953......\)

余弦定理:\(\cos\theta_1=\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 2}=\frac{-3}{4}\)

余弦定理:\(\cos\theta_2=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{\frac{7}{8}})^2}{1\times 1\times 2}=\frac{9}{16}\)

其中:\(\sqrt{\frac{7}{8}}\)是大小圆公共弦的长度。

点评

我还以为这个题必须用微积分才能解决呢  发表于 2019-1-1 13:59
我给你的思路补充了一张图,有时候有图理解起来真简单,没图不好理解!  发表于 2019-1-1 13:51
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发表于 2019-1-1 13:23:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-1-1 13:49 编辑
王守恩 发表于 2019-1-1 12:48
设大圆半径为\(\ 1\),小圆半径为\(\ \ \frac{1}{2}\ \)。

    1 个阴影面积=小圆里构成的弓形面积- ...


$0.292763 a^2$
正确答案,取数值解,差不多就这么大,
看你答案的数值解.
差不多正好一半

会了!
我自己补充一张图,
先用扇形ABD求出红色部分的面积,
然后用扇形BCD求出绿色部分的面积,
两个相互减就是要求的面积的一半.

假设正方形边长=2,则大圆半径=2,小圆半径=1
AB=2
BC=1
$AC=\sqrt{2}$,利用余弦定理
求出∠BAC的余弦值,
再用二倍角公式算出∠BAD的余弦值,
然后得到$BD=\sqrt{\frac{7}{2}}$
剩下的就不多说了

QQ截图20190101134244.png

点评

谢谢mathematica!主帖简单化:C 是等腰三角形 ABD 内的点,CA = 根号2,CB = CD = 1,,AB = AD = 2,求AD =?  发表于 2019-1-2 08:45
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