能否证明？有没有通式？

northwolves

对于自然数n>2,2^n=7*a^2+b^2 有唯一的奇自然数解a,b
2^3=7*1^2+1^2
2^4=7*1^2+3^2
2^5=7*1^2+5^2
2^6=7*3^2+1^2
2^7=7*1^2+11^2
2^8=7*5^2+9^2
2^9=7*7^2+13^2
2^10=7*3^2+31^2
2^11=7*17^2+5^2
2^12=7*11^2+57^2
2^13=7*23^2+67^2
2^14=7*45^2+47^2
2^15=7*1^2+181^2
2^16=7*91^2+87^2
2^17=7*89^2+275^2
2^18=7*93^2+449^2
2^19=7*271^2+101^2
2^20=7*85^2+999^2
2^21=7*457^2+797^2
2^22=7*627^2+1201^2
2^23=7*287^2+2795^2
2^24=7*1541^2+393^2
2^25=7*967^2+5197^2
2^26=7*2115^2+5983^2
2^27=7*4049^2+4411^2
2^28=7*181^2+16377^2
2^29=7*8279^2+7555^2
2^30=7*7917^2+25199^2
2^31=7*8641^2+40309^2
2^32=7*24475^2+10089^2
2^33=7*7193^2+90707^2
2^34=7*41757^2+70529^2
2^35=7*56143^2+110885^2
2^36=7*27371^2+251943^2
2^37=7*139657^2+30173^2
2^38=7*84915^2+473713^2
2^39=7*194399^2+534059^2
2^40=7*364229^2+413367^2
2^41=7*24569^2+1481485^2
2^42=7*753027^2+654751^2
2^43=7*703889^2+2308219^2
2^44=7*802165^2+3617721^2
2^45=7*2209943^2+998717^2
2^46=7*605613^2+8234159^2
2^47=7*3814273^2+6236725^2
2^48=7*5025499^2+10231593^2
2^49=7*2603047^2+22705043^2
2^50=7*12654045^2+2241857^2

仙剑魔

令n为>=3的奇数
2^n=2^(n-3)*8=7*2^(n-3)+2^(n-3)
有a=b=2^((n-3)/2)
即此时必有解

偶数算出来了...
令n为>=4的奇数
2^n=2^(n-4)*16=7*2^(n-4)+9*2^(n-4)
有a=2^((n-4)/2),b=3*2^((n-4)/2)
即此时必有解

这样说明必定有解,根据LZ列出的项可以发现解不唯一...

northwolves

言之有理。
但何以见得a,b一定是奇数？

仙剑魔

令n为>=3的奇数
........

令n为>=4的偶数(这里敲错)
......

a,b都要是奇数,厄...之前没看到

zgg___

northwolves总能告诉大家一些很有趣的事实。
这个是对的，也是有通式的呢。

"http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html"

northwolves

原帖由 zgg___ 于 2008-12-24 15:02 发表
northwolves总能告诉大家一些很有趣的事实。
这个是对的，也是有通式的呢。

"http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html"

有日子不见了。
什么通式？我咋搜不到呢？

northwolves

笨死了。被蒙了一把。

仙剑魔

三角函数,强大...

gxqcn

没想到答案隐藏这么深，真是真人不露相啊。

到那个链接去看了，验证了一下，发现所给公式有点问题，编辑太不负责任了！
（以前也曾发现过 mathworld 中某些页面叙述有误）

正确的应如下：

不定方程 $2^(n+2) = 7x^2 + y^2\quad(n,x,y in ZZ^+)$ 有且仅有一组奇数解：
${(x=(2^(1+n//2))/(sqrt(7))|sin[ntan^(-1)(sqrt(7))]|), (y=2^(1+n//2)|cos[ntan^(-1)(sqrt(7))]|) :}$

原文中不仅将解中的 x、y 搞颠倒了，而且 n 也被平移了两个单位！

northwolves

郭老师的认真学习精神令人钦佩。