关于分数的幂级数逼近问题以及循环数问题

winxos

今天突然发现论坛有篇关于循环数的问题，让我想到了以前思考过一些问题，如下： 三年多前的时候首先思考的就是循环数问题，（ 1/7，1/17的性质让我起的兴趣） 后面研究深入之后发现了很多性质，还引申出了 无意中发现了 分数的幂级数逼近。 先给大家看一些奇特的分数，大家就可以体会的到我下面说的是什么意思了： 1/19=0.0526315789473684210..... 1/98=0.010204081632653061224489795918367.... 1/9801=0.00010203040506070809101112....969799... 1/49=0.020408163265306122448979591836734693877551... 300以内的循环数 7 17 19 23 29 47 59 61 97 109 113 131 149 167 179 181 193 223 229 233 257 263 269 注释：现在想起来，当初研究的时候还没有电脑，我用普通计算器算了一个223的循环节，写了我一大张纸！还怕算错，还好没算1949的！ 后来隔了不多久用文曲星写了个程序才发现涉及到了素数，我就知道问题没那么简单了。 下面是一些记忆，具体的我要翻出当年的笔记本才记得， 以分子为1的真分数做解释， 素数分母P的循环节一定为为p-1的因子，如果=p-1就是所谓的循环数， 如果循环节不是P-1那么就会有相应的几个循环圈，跟你的因子有关系， 如果一个奇数（不一定是素数）则其循环节为其个因子的最大公倍数（好像记得是这样 ） 比如说1/2实际也可以算是循环小数！这是最令人惊讶的，实际上是0的循环！因为我发现任何的分数可以用统一的幂函数和求得！ 要求一个分数的循环节，我发现不需要从前往后算也是可以的， 我把这种方法称为 分数的幂函数逼近，最令我当时激动的就是找到了两大类不同的逼近模式，每类都有无数种构造方法，如果有感兴趣的，具体的结论有一部分在这里http://hi.baidu.com/ncutlw/blog/item/c8431bf4d88d406cddc474d7.html? 问题大概前后思考了2个多月的时间， 后来我发现关于循环数的那部分大概在200多年前已经有人研究过了，发现也和我差不多，当时令我很失望，不过关于幂级数逼近的问题我现在还没发现有其他相关的研究，或者是我不知道 关于幂级数和的逼近我得到了很多的相关结果，本来想一直研究下去的，不过后来我发现了 逆向构造的n位构造器，让我觉得大为满意， 使得分数的速算成为可能，然后我感觉到这里就差不多了，再深入就耗费太多了，呵呵，这是我大学期间觉得最有意思的一点发现。 winxos 2009-1-3

无心人

这里好像有讨论的 具体哪里忘记了

gxqcn

我对循环小数研究了一阵子，且推广到任意进制下。 在我的HugeCalc套装软件中有款专门软件，可以快速计算任意分数转小数，

在目录 \HugeCalc\testDLL\bin\ 下的 Fraction.exe 参考链接：擂台：分数化小数

sunwukong

等比数列 $a$，$a*q$，$a*q^2$，$a*q^3$，…… 的和有个公式： 如果 $-1

sunwukong

关于循环节： 分数 p/q ，（其中 p 、q 互素，而且q与10互素）的循环节的长度是使 10^t = 1 (mod q ) 成立的最小正整数 t。 即 假设 10^t-1 = q*y 则 p / q = (p*y) / (q*y) = (p*y) / (10^t-1) = (p*y/10^t) / (1-1/10^t) = p*y/10^t + p*y/10^(2t) + p*y/10^(3t) + …… [ 本帖最后由 sunwukong 于 2009-1-4 16:48 编辑 ]

winxos

5#，6#分析的很正确， 可是1/19 = (1/20) / (1-(1/20)) = (1/20) + (1/20)^2 + (1/20)^3 + …… 如何可以形成反向构造呢？ 1/19=0.0526315789473684210..... 你从后往前看， 而且我说的1/19则n+1=2;k=1则我可以用逆向构造1*2来实现 这个能计算的原理是什么呢？我自己也不大清楚，不过可以推广的是一系列的幂级数和可以反向生成。 回复GXQCN： 后来我用过你那个计算器，可惜只能算一个的，呵呵，后来我自己写了这个问题的算法，包括正向和逆向的实现。

gxqcn

从小数到分数原理更简单。

winxos

10^t = 1 (mod p ) 成立的最小正整数 t。 这是当然的，1/P，循环节的位数小于P的原因就是因为数位滚动就相当于=K/p,如果K>P那么就一定会跟前面的某个数重复，当然在k

sunwukong

原帖由 winxos 于 2009-1-4 11:09 发表 5#，6#分析的很正确， 可是1/19 = (1/20) / (1-(1/20)) = (1/20) + (1/20)^2 + (1/20)^3 + …… 如何可以形成反向构造呢？ ...

1/49 = (1/50) / (1-(1/50)) = (1/50) + (1/50)^2 + (1/50)^3 + …… 就是反向构造 (1/50)^n = (2/100)^n (1/50)^1 = 2 / 10^2 = 0.02 (1/50)^2 = 4 / 10^4 = 0.0004 (1/50)^3 = 8 / 10^6 = 0.000008 ……

medie2005

其实很简单的东西. 反向构造: 我们需要按k的降序来计算$10^{k} mod p$. 因为$p=10*n+9$,所以,我们有$(n+1)*10 mod p=1$.然后,所以,我们现在只需要按k的降序来计算:$(n+1)^{-k} mod p$. 而p为素数,于是就有:$(n+1)^{p-1} mod p=1$. 因此,我们只需要按k的降序来计算:$(n+1)^{-k} *(n+1)^{p-1} mod p$. 即: $(n+1)^{p-1-k}mod p$. 也就是只需要按i=p-1-k的升序来计算: $(n+1)^{i}mod p$.