n以内每个自然数的素因数个数的和

liangbch

mathe 利用素数定理证明了，当 $n=oo$, n以内平均每个自然数的素因子个数趋于$log(log(n))$. 换句话说，
n以内每个自然数的数因数的个数和的极限是$n*log(log(n))$. 见K-Smith numbers 13#
     令m为对于n以内的各个自然数的素因数的个数和。我们能够列出若干不等式 $m<n*log(log(n)*k+c$(K和c为常数),
我通过实验的方法,得到2个比较典型的不等式.
   当k=11/10时，有a=6， 即 $m<log(log(n))*n*1.1+6$
   当k=35/32时，有a=27，即 $m<log(log(n))*n*35/32+27$

liangbch

这里给出更详细的实验结果

n=2, n以内自然数的质因数个数和:1=log(log(n))*1.100000*n+1.806328
n=6, n以内自然数的质因数个数和:6=log(log(n))*1.100000*n+2.150893
n=15, n以内自然数的质因数个数和:19=log(log(n))*1.100000*n+2.562223
n=22, n以内自然数的质因数个数和:30=log(log(n))*1.100000*n+2.690097
n=42, n以内自然数的质因数个数和:64=log(log(n))*1.100000*n+3.087041
n=70, n以内自然数的质因数个数和:115=log(log(n))*1.100000*n+3.614506
n=78, n以内自然数的质因数个数和:130=log(log(n))*1.100000*n+3.726689
n=120, n以内自然数的质因数个数和:211=log(log(n))*1.100000*n+4.287125
n=190, n以内自然数的质因数个数和:351=log(log(n))*1.100000*n+4.548836
n=210, n以内自然数的质因数个数和:392=log(log(n))*1.100000*n+4.715618
n=222, n以内自然数的质因数个数和:417=log(log(n))*1.100000*n+5.060328

n<1000000, n以内自然数的质因数个数和:2853708<=log(log(n))*1.100000*n+5.060328

n=2, n以内自然数的质因数个数和:1=log(log(n))*1.093750*n+1.801747
n=6, n以内自然数的质因数个数和:6=log(log(n))*1.093750*n+2.172763
n=15, n以内自然数的质因数个数和:19=log(log(n))*1.093750*n+2.655620
n=22, n以内自然数的质因数个数和:30=log(log(n))*1.093750*n+2.845267
n=40, n以内自然数的质因数个数和:60=log(log(n))*1.093750*n+2.892130
n=42, n以内自然数的质因数个数和:64=log(log(n))*1.093750*n+3.433137
n=46, n以内自然数的质因数个数和:71=log(log(n))*1.093750*n+3.454965
n=60, n以内自然数的质因数个数和:96=log(log(n))*1.093750*n+3.494564
n=66, n以内自然数的质因数个数和:107=log(log(n))*1.093750*n+3.582864
n=70, n以内自然数的质因数个数和:115=log(log(n))*1.093750*n+4.247378
n=78, n以内自然数的质因数个数和:130=log(log(n))*1.093750*n+4.444151
n=95, n以内自然数的质因数个数和:162=log(log(n))*1.093750*n+4.480314
n=96, n以内自然数的质因数个数和:164=log(log(n))*1.093750*n+4.581049
n=120, n以内自然数的质因数个数和:211=log(log(n))*1.093750*n+5.461630
n=156, n以内自然数的质因数个数和:282=log(log(n))*1.093750*n+5.696746
n=190, n以内自然数的质因数个数和:351=log(log(n))*1.093750*n+6.517308
n=210, n以内自然数的质因数个数和:392=log(log(n))*1.093750*n+6.916097
n=222, n以内自然数的质因数个数和:417=log(log(n))*1.093750*n+7.400895
n=238, n以内自然数的质因数个数和:450=log(log(n))*1.093750*n+7.548498
n=310, n以内自然数的质因数个数和:600=log(log(n))*1.093750*n+7.704647
n=330, n以内自然数的质因数个数和:643=log(log(n))*1.093750*n+8.579627
n=420, n以内自然数的质因数个数和:835=log(log(n))*1.093750*n+8.838785
n=430, n以内自然数的质因数个数和:857=log(log(n))*1.093750*n+9.339684
n=442, n以内自然数的质因数个数和:883=log(log(n))*1.093750*n+9.494598
n=476, n以内自然数的质因数个数和:957=log(log(n))*1.093750*n+10.006078
n=498, n以内自然数的质因数个数和:1005=log(log(n))*1.093750*n+10.260356
n=561, n以内自然数的质因数个数和:1143=log(log(n))*1.093750*n+10.762363
n=616, n以内自然数的质因数个数和:1264=log(log(n))*1.093750*n+10.876375
n=630, n以内自然数的质因数个数和:1295=log(log(n))*1.093750*n+10.989694
n=666, n以内自然数的质因数个数和:1375=log(log(n))*1.093750*n+11.364586
n=670, n以内自然数的质因数个数和:1384=log(log(n))*1.093750*n+11.499934
n=672, n以内自然数的质因数个数和:1389=log(log(n))*1.093750*n+12.066333
n=715, n以内自然数的质因数个数和:1485=log(log(n))*1.093750*n+12.543709
n=806, n以内自然数的质因数个数和:1689=log(log(n))*1.093750*n+13.215543
n=820, n以内自然数的质因数个数和:1721=log(log(n))*1.093750*n+13.802679
n=952, n以内自然数的质因数个数和:2019=log(log(n))*1.093750*n+14.074956
n=966, n以内自然数的质因数个数和:2051=log(log(n))*1.093750*n+14.344208
n=990, n以内自然数的质因数个数和:2106=log(log(n))*1.093750*n+14.884693
n=1122, n以内自然数的质因数个数和:2407=log(log(n))*1.093750*n+15.000862
n=1170, n以内自然数的质因数个数和:2517=log(log(n))*1.093750*n+15.058773
n=1180, n以内自然数的质因数个数和:2540=log(log(n))*1.093750*n+15.120821
n=1190, n以内自然数的质因数个数和:2563=log(log(n))*1.093750*n+15.171617
n=1200, n以内自然数的质因数个数和:2586=log(log(n))*1.093750*n+15.211267
n=1210, n以内自然数的质因数个数和:2609=log(log(n))*1.093750*n+15.239874
n=1212, n以内自然数的质因数个数和:2614=log(log(n))*1.093750*n+15.644280
n=1222, n以内自然数的质因数个数和:2637=log(log(n))*1.093750*n+15.659771
n=1248, n以内自然数的质因数个数和:2697=log(log(n))*1.093750*n+15.849652
n=1274, n以内自然数的质因数个数和:2757=log(log(n))*1.093750*n+15.968083
n=1275, n以内自然数的质因数个数和:2760=log(log(n))*1.093750*n+16.663541
n=1276, n以内自然数的质因数个数和:2763=log(log(n))*1.093750*n+17.358896
n=1365, n以内自然数的质因数个数和:2969=log(log(n))*1.093750*n+17.842802
n=1428, n以内自然数的质因数个数和:3115=log(log(n))*1.093750*n+17.903723
n=1430, n以内自然数的质因数个数和:3120=log(log(n))*1.093750*n+18.264730
n=1653, n以内自然数的质因数个数和:3640=log(log(n))*1.093750*n+18.860468
n=1846, n以内自然数的质因数个数和:4093=log(log(n))*1.093750*n+19.199419
n=1848, n以内自然数的质因数个数和:4098=log(log(n))*1.093750*n+19.494770
n=1974, n以内自然数的质因数个数和:4395=log(log(n))*1.093750*n+19.564923
n=1976, n以内自然数的质因数个数和:4400=log(log(n))*1.093750*n+19.843441
n=1978, n以内自然数的质因数个数和:4405=log(log(n))*1.093750*n+20.121704
n=1980, n以内自然数的质因数个数和:4410=log(log(n))*1.093750*n+20.399715
n=2266, n以内自然数的质因数个数和:5088=log(log(n))*1.093750*n+20.681659
n=2346, n以内自然数的质因数个数和:5279=log(log(n))*1.093750*n+21.284968
n=2496, n以内自然数的质因数个数和:5637=log(log(n))*1.093750*n+21.397832
n=2508, n以内自然数的质因数个数和:5666=log(log(n))*1.093750*n+21.718369
n=2510, n以内自然数的质因数个数和:5671=log(log(n))*1.093750*n+21.937778
n=2520, n以内自然数的质因数个数和:5695=log(log(n))*1.093750*n+22.031908
n=2586, n以内自然数的质因数个数和:5853=log(log(n))*1.093750*n+22.132913
n=2590, n以内自然数的质因数个数和:5863=log(log(n))*1.093750*n+22.556641
n=2640, n以内自然数的质因数个数和:5983=log(log(n))*1.093750*n+22.790348
n=3018, n以内自然数的质因数个数和:6892=log(log(n))*1.093750*n+22.801692
n=3060, n以内自然数的质因数个数和:6994=log(log(n))*1.093750*n+23.438413
n=3162, n以内自然数的质因数个数和:7241=log(log(n))*1.093750*n+23.986168
n=3290, n以内自然数的质因数个数和:7551=log(log(n))*1.093750*n+24.160885
n=3306, n以内自然数的质因数个数和:7590=log(log(n))*1.093750*n+24.390743
n=3444, n以内自然数的质因数个数和:7925=log(log(n))*1.093750*n+24.623042
n=3445, n以内自然数的质因数个数和:7928=log(log(n))*1.093750*n+25.194776
n=3690, n以内自然数的质因数个数和:8524=log(log(n))*1.093750*n+25.265106
n=4090, n以内自然数的质因数个数和:9501=log(log(n))*1.093750*n+25.286517
n=4092, n以内自然数的质因数个数和:9506=log(log(n))*1.093750*n+25.389822
n=4095, n以内自然数的质因数个数和:9514=log(log(n))*1.093750*n+26.044568
n=4902, n以内自然数的质因数个数和:11499=log(log(n))*1.093750*n+26.542675
n=5370, n以内自然数的质因数个数和:12657=log(log(n))*1.093750*n+26.561566
n=5372, n以内自然数的质因数个数和:12662=log(log(n))*1.093750*n+26.602752

n<1000000, n以内自然数的质因数个数和:2853708<=log(log(n))*1.093750*n+26.602752

g99

沙发

winxos

能否解释一下：n以内的各个自然数的素因数的个数和？
比如11以内是否是：2(1),3(1),4(1),5(1),6(2),7(1),8(1),9(1),10(2),括号内为素因子个数？
如何得到6？

liangbch

10 以内的质因数的个数的和是 1+1+1+1+2+1+1+1+2=11.
得到6的方法？
   使用统计的方法，令K=1.1,统计从1-100000, 实际的质因数的个数和m 与 log(log(n))*n*1.1 的 差的最大值。

winxos

原来开始搞反了，
原来是先统计，后得到的6，
我以为直接得到了6，后统计也是6。;)

winxos

当n比较小时，是否可以考虑加上一个修正项n的函数，使得常数也可以用26.602752来代替？
那样统一了，稍微美妙一些。

liangbch

没有看明白你的建议。