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[擂台] 倒数和

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发表于 2009-1-9 17:06:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
数列an 表示满足 $\sum_{i=n}^{k}1/i >=n $的最小k值(k≥n>0,k,n ∈N),如:
a(1)=1
a(2)=11
a(3)=51
a(4)=192
a(5)=669
a(6)=2222
a(7)=7135
a(8)=22374
a(9)=68916
a(10)=209348
a(11)=628916
a(12)=1872269

试确定a(10^8) 的值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 17:15:14 | 显示全部楼层


用double计算恐怕要丢失精度了
有公式么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 17:19:36 | 显示全部楼层

呵呵找到了

有下面的公式
2008271884955536.gif
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 17:23:24 | 显示全部楼层

这题目太疯狂了吧,10^8
难道用欧拉常数来近似?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 17:43:10 | 显示全部楼层
精度要求多高?
根据无心人找到的结果,就是要找最小的k使得
$Psi(k+1)>=n+Psi(n)$
计算可以使用斯泰林公式,
而且可以知道$Psi(n)$大概是log(n)左右,所以我们知道k大概在$exp(n+Psi(n))$左右,对于这个题目,精确表示几乎不可能.即使能够算出来也不能贴到这里
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2009-1-9 17:51:31 | 显示全部楼层
近似的话就是
e^(n+ln(n-1))
精确结果确实也不可能发到这里,呵呵。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2009-1-9 19:17:36 | 显示全部楼层
见过类似的题目,所以猜测有一些简化的精确计算方法

an 与 e^(n+ln(n-1)) 具体的误差有多大
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发表于 2009-1-9 20:32:27 | 显示全部楼层
呵呵

你的初始几个结果如何算的?
如果是程序算的
我也觉得很不好算

这个无法定点校正
一旦超越了1000000000000后几乎会丢失掉大部分结果的精度
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-10 09:19:48 | 显示全部楼层
可以将Stiring级数逐项求导,得到$Psi(x)$的类似的级数形式.这个我在很久以前推导过,完全可以证明其成立(虽然这些形式级数都是发散的,但是其前面若干项都是围绕者精确值摆动的).而且得到的级数形式还可以继续求导求得更高阶的微分.
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发表于 2009-1-10 09:33:56 | 显示全部楼层
如果我们记$F(x)=ln(Gamma(x))-(x-1/2)ln(x)+x$
然后我们需要去证明,对F(x)的任意阶导数都有$lim_{x->infty}F^{(n)}(x)$存在.
得到了这个结论后,结合Stirling级数就可以很容易得出上面的结论了.
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