方幂和的极限问题

无心人

假设定义$P(x) = sum_{i=1}^ \infty 1/i^x, i in NN, x in RR$
求使得$P(x)$不是无穷大的$x$的最小值及其对应的$P(x)$

无心人

我只知道
$1 < x < 2$

gxqcn

$x>=2$ 应该都可以吧：

$\sum_{n=1}^{\infty}1/n^(2k)=\frac{(2\pi)^(2k)B_k}{2(2k)!},\quadk=1,2,...,B_k$ 是伯努利数。

无心人

不好意思， 有点小漏洞
已经 补上了

mathe

传统的数学分析问题，由于
$int_1^{infty}{dx}/{x^h}<sum_{i=2}^{infty}1/{i^h}<int_2^{infty}{dx}/{x^h}$
我们可以知道对于h>1,$sum_{i=2}^{infty}1/{i^h}$都有界，也就是它们会收敛。
但是h=1显然不收敛。
从复变函数的角度看，上面级数对于所有的实部大于1的复数z,$zeta(z)=sum_{i=1}^{infty}1/{z^h}$都存在。
而通过函数拓展，还可以将函数拓展到整个除了z=1的复平面上。也就是这个函数除了z=1都有定义。而这个函数就是大名鼎鼎的黎曼$zeta$函数，而黎曼猜想是说$zeta(z)=0$的所有非平凡解的实部都是$-1/2$.

无心人

这个问题在我昨天翻某个数学小册子时发现
不存在题目规定的最小值对应的结果
$x > 1$, $P(x)$即有限, 但不存在确切值, 只能说小于 正无穷