函数求解

northwolves

$f(x)$ 定义在实数域上，且$f(f(x)+y^2)=f^2(x)-f(x)f(y)+xy+x $ ,求$f(x)$

mathe

让x=0,y=0,代入得到f(f(0))=0
假设f(0)=a,我们有f(a)=0
让x=a代入条件得到$f(y^2)=ay+a$,所以$f((-y)^2)=-ay+a=ay+a$,得到a=0
所以f(0)=0,
然后令x=0代入原条件得到$f(y^2)=0$,也就是对于一切非负数x,f(x)=0,这个显然同原始条件不符合。
所以这样的函数不存在。

mathe

题目应该改为
$f(f(x)+y^2)=f^2(y)-f(x)f(y)+xy+x$
这样可以有两个解
$f(x)=x$和$f(x)=-x-1/2$