一个数列的通项公式

northwolves

在http://topic.csdn.net/u/20090115 ... 0-ca00a4ac2c82.html，网友fallening 向mathe提问： f(n)=f(n-1)+f(n-3) f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 f(n)=? Fibonacci Numbers 公式我是会推导的，这个题目似乎比较麻烦。

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按照http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000930 的解释， a(n) = floor( d*c^n + 1/2) where c is the real root of x^3-x^2-1 and d is the real root of 31*x^3-31*x^2+9*x-1 ( c=1.465571231876768... and d= 0.611491991950812...) - Benoit Cloitre (benoit7848c(AT)orange.fr), Nov 30 2002

northwolves

原帖由 northwolves 于 2009-1-19 19:00 发表 按照http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000930 的解释， a(n) = floor( d*c^n + 1/2) where c is the real root of x^3-x^2-1 and d is the real root of 31*x^3-31*x^2+9*x-1 ( c=1.465571231876768 ...

c is the real root of x^3-x^2-1=0 $c=root3(4*(1+sqrt(27/31))/837)+root3(4*(1-sqrt(27/31))/837)+1/3 d is the real root of 31*x^3-31*x^2+9*x-1 $d=root3(29/54+sqrt(837)/54)+root3(29/54-sqrt(837)/54)+1/3$

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最终结果：$a(n)=|__(root3(29/54+sqrt(837)/54)+root3(29/54-sqrt(837)/54)+1/3)*(root3(4*(1+sqrt(27/31))/837)+root3(4*(1-sqrt(27/31))/837)+1/3)^(n-1)+1/2__| 这里有个问题：a(n) = floor( d*c^n + 1/2)是如何推导出来的？Google 没有搜到相关资料

medie2005

$x^3-x^2-1=0$的其他两个根为$c*(cos(2*pi/3)+i*sin(2*pi/3))$和$c*(cos(4*pi/3)+i*sin(4*pi/3))$. $a[n]=k_{1}*c^{n-1}+k_{2}*c^{n-1}*(cos((2n-2)*pi/3)+i*sin((2n-2)*pi/3))+k_{3}*c^{n-1}*(cos((4n-4)*pi/3)+i*sin((4n-4)*pi/3))$ 由a[1]=a[2]=a[3]=1,解得$k_{1},k_{2},k_{3}.$

northwolves

$1=k_{1}+k_{2}+k_{3}$ $1=k_{1}*c^{2-1}+k_{2}*c^{2-1}*cos(2*pi/3)+k_{3}*c^{2-1}*cos(4*pi/3)$ $1=k_{1}*c^{3-1}+k_{2}*c^{3-1}*cos(4*pi/3)+k_{3}*c^{3-1}*cos(8*pi/3)$

northwolves

明白了，谢谢medie2005

LZC_314

强大啊，我想说是手工解出来的吗？

BeerRabbit

\sum _{{\it \_R}={\it RootOf} \left( -1+{\it \_Z}+{{\it \_Z}}^{3} \right) }{\frac { \left( {{\it \_R}}^{-1} \right) ^{n}}{1+3\,{{\it \_R}}^{2}}}

荼靡破晓

这个题目不算太难吧