解函数方程 f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)

gxqcn

谢谢 mathe 的精彩演绎。

这么说：函数方程：$f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)$ 的解是 $f(x)=x$ 或 $f(x)=-x/2$
应该没问题了吧？

之前我犯了类似解方程两边同除以零导致了“丢根”的问题。

gxqcn

估计我在117#下的结论又错了（发帖时还没见到 mathe 的116#）。

下面这句没看懂：

原帖由 mathe 于 2009-1-21 16:05 发表
...
那么对于任意一个实数r,那么存在唯一的$r_1 in R_1,r_2 in R_2$,使得$r=r_1+r_2$,定义$f(r)=r_1-1/2r_2$
...

请教一下：为什么 定义$f(r)=r_1-1/2r_2$ ？

shshsh_0510

当然是要凑两边等了
别着急，mathe还没写完呢。
现在，已知 f(x)=x 或 f(x)=-x/2 是两个连续的。
并且 g(0)=0
然后，又构造出一族
等到将所有的分类出，才完呢

mathe

10#构造出了方程的一类解。
现在来证明方程所有的解都有这个形式。
也就是说必然存在一个线性子空间$R_1$和$R_2$(其中特殊情况是$R_1$和$R_2$可以退化为0维线性子空间{0}),使得函数在$R_1$里面有$f(x)=x$,在$R_2$里面有$f(x)=-x/2$.

对于一个满足条件的函数f(x),由于我们已经证明了f(x)是R在Q上的线性变换，记集合$R_1={x|f(x)=x},R_2={x|f(x)=-x/2}$
显然$R_1$和$R_2$只有唯一的公共元0.
对于任意一个元素x,我们知道$f(x+2f(x))=x+2f(x)$,所以$x+2f(x) in R_1$
同样$f(x-f(x))=f(x)-f(f(x))=-1/2(x-f(x))$,所以我们知道$x-f(x) in R_2$
由于$x=1/3(x+2f(x))+2/3(x-f(x))$,我们得到$R=R_1+R_2$
由此证明了所有满足条件的f(x)都有这种形式。

mathe

原帖由 gxqcn 于 2009-1-21 16:17 发表
估计我在117#下的结论又错了（发帖时还没见到 mathe 的116#）。

下面这句没看懂：



请教一下：为什么 定义$f(r)=r_1-1/2r_2$ ？

就是在$R_1$里面是$f(x)=x$,在$R_2$里面是$f(x)=-x/2$,而函数是线性变换，所以$f(r_1+r_2)=r_1-1/2r_2$

shshsh_0510

perfect!
后面的思路还清晰，前面部分完全像在变魔术。
感觉应该有现成的理论来理解这个，否则这么样的推来推去，方向性还很强，有几个能做到？
比如这个，刚好有两个函数做特解，然后构造所有的。而原始条件也是嵌套2层，这应该不是巧合。
如果嵌套3层，则前面来回倒腾的部分有可能会更加复杂的多！应该是有个理论应付这种嵌套的，不知谁了解这个？

mathe

发现奥数之家上也有这个题目，只是添加了R在零点连续这个条件：
http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=58&id=2162

mathe

10#和14#给出了所有的解的形式，不过需要用到选择公理。同样除了两个连续的解以外，其它的解看似存在，当时要具体构造出来又很难。
而如果要避免使用选择公理，可以如奥数之家链接里面提供的题目一样，指定函数至少在某个点连续就可以了。（不过奥数之家里面提供的证明好像不完整，而且还有点问题）
而如果要提供给中学生作为竞赛题目使用，最好避免连续这个概念，而改用约束条件在|x|<1时，函数f(x)有界（也就是存在正数M使得对于任意|x|<1,|f(x)|<M)。

kastin

没有那么简单，除了f(x)=x是一个解以外，f(x)=-x/2也是一个解。并且还有其他很多显式和隐式甚至是没有解析式的解。

一般来说，函数方程是非常复杂的，因为要考虑定义域以及值域的关系，而不是简单的“形式解”（代数式意义上的相等）；并且还有一些连续性，可微性也需要考虑（这很重要）。
目前研究的前沿用到的方法大多为幂级数方法进行有限范围解析性质探究。因为，函数方程本身较为特殊，其解有可能是多值的，可能存在奇异点，也可能不连续。对于一些简单的函数方程，高中竞赛一般会涉及到，但是复杂的函数方程就不是一般方法能解决的了。柯西曾经研究过函数方程，并给出了一种特殊的方法来求解。对于大多数定解的函数方程，可以通过微分方程的方法结合柯西方法来求解；如果找不到解析解，只能通过幂级数来研究方程的解了。

楼主给出的方程其实属于比较复杂的函数方程，因为里面存在一种自身的映射过程（迭代），并且还有延迟效应。如果熟悉非线性迭代以及延迟微分方程的话，大家就知道这类问题的结果都是令人吃惊的，间断、分叉都是很常见的现象。

考虑简单的f(f(x))=x这种迭代方程，其解就不是唯一的。这个问题比较复杂。类似问题看这里：http://mathoverflow.net/questions/17614/solving-ffx-gx