选中最重物体的策略

northwolves

长见识了！

mathe

呵呵,发现上面写错了不少,应该是
$P(k)=1/n\sum_{h=k+1}^n k/{h-1}$
$P(k+1)-P(k)=1/n(\sum_{h=k+2}^n1/{h-1}-1)=1/n\sum_{h=k+1}^{n-1}1/h-1/n$
$k=min{k| \sum_{h=k+1}^{n-1}1/h<1}$
不过说P(k)的最大值在$[n/e]$或$[n/e]+1$是错误的:
看Pari/Gp程序:
fn(n)={local(m,s);s=0.0;m=n;for(u=1,n-1,s+=1.0/(n-u);if(s<1.0,m=n-u));m}
于是
(18:10) gp > fn(100)
%15 = 38
(18:10) gp > 100/exp(1)
%16 = 36.78794411714423215955237702
(18:11) gp > fn(1000)
%17 = 369
(18:11) gp > 1000/exp(1)
%18 = 367.8794411714423215955237702

LLJ_LLJ

哈哈，楼上先检查以下自己的程序有无错误。
我可是有证明过程的。

mathe

嗯,应该是m-1而不是m.证明不难,用积分就可以了

LLJ_LLJ

有些东西想想简单，但一旦动手去做就不是一回事了。
还有 人若掌握了高深的知识，一解题目就会想到用高等知识来做，有时候初等的东西反而更简单，更巧妙。
我就有这个毛病。一拿到题目，先让电脑算算吧，看看有什么规律吧。算面积，那就用积分吧。

LLJ_LLJ

以下是一个证明，大家看看有无疏漏或错误。
----------------------------------------------------
令q=int($n/e$)    int()为取整函数
          那么，q<=n/e<q+1
概率公式
n=2       P(0)=1/2    P(1)=1/2   ，q=0，命题肯定成立。
n>2
    $P(k)=k/n.(\sum_{i=k}^{n-1}1/i)$               k>0   
    $P(k) =1/n$                                                        k=0  
△P= $P(k+1)-P(k) =1/n\sum_{i=k+1}^{n-1}1/i-1$   
即n · △P= ($\sum_{i=k+1}^{n-1}1/i-1$)   
从上面式子可看出△P是个递减数列，从大于0，逐渐减至小于0. 当第一次变为负值时的k就是所求的最大值的自变量。


构造两个新的数列：
     C(k)=$\sum_{i=1}^{k}1/i-ln(k+1)$               C(k)是个递增数列
     C'(k)=$\sum_{i=1}^{k}1/i-ln(k)$                   C'(k)是个递减数列
    这两个数列的极限值都相等，都等于欧拉常数C=0.57721566490153286060651209
将概率△P用C(k)或C'(k)来表示：
    n · △P=ln$n/(k+1)$ + C(n-1)-C(k) -1                式子1
    n · △P=ln$(n-1)/k$+  C'(n-1)-C'(k+1) -1           式子2

                                             
根据式子1：
    k取q-1值时，n · △P=ln $n/q$ +  C(n-1)- C(q-1)-1
   因为q<=n/e,所以n/q>=e,  因为C(k)是个递增数列，所以C(n-1)- C(q-1)>0.
   所以n · △P >lne+0-1>0.  
   因此 k取q-1值时，△P>0 ,   所以P(k)取最大值时，k 必定>=q
根据式子2：
   k取q+1值时，n*△P=ln (n-1)/(q+1) +  C'(n-1)- C'(q+2)-1
   因为n/e<q+1,所以(n-1)/(q+1)< n/(q+1)<e,  因为C'(k)是个递减数列，所以C'(m-1)- C'(q+2)<0.
    所以n · △P <lne+0-1<0,
    因此k取q+1值时，△P<0,  所以P(k)取最大值时，k 必定<=q+1

因此P(k)取最大值时， q<= k <=q+1
命题得证。

mathe

这里关键在于说明C(k)和C'(k)单调,这个其实同直接用积分$int{dx}/x$等价.
此外,最好用符号$C_1(k)$和$C_2(k)$,毕竟C'(k)这个符号容易同导数符号混合.

LLJ_LLJ

一个不连续的数列题，用积分来解题，不知方便在哪里？我 很困惑，希望高手们能帮我解惑。不要又是一句空话。只有把过程写出来，才能判断到底是不是方便。

mathe

这是很常规的手段,对于单调函数f(x),数学分析里面经常采用积分对求和进行估计,也就是
$\int_{k-1}^n{dx}/{f(x)}$和$\int_k^{n+1}{dx}/f(x)$来估计$\sum_{i=k-1}^n1/{f(i)}$

无心人

你很少这时候在线

大概逛街逛累了，上来找乐子了吧