求证几个数论问题

282842712474 · 发表于 2009-4-4 13:21:36

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1、能否使用公式 $\pi (x) = x * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * ...$ 来估算不大于x的素数的个数？如果可以，那么能否证明这条公式总是小于$\pi (x) $ 我的想法是，由于合数是均衡分布的，因此，在小于x的整数中，奇数有x/2，剩下的数中，非3的倍数的数有$x/2 * 2/3$等等。下面的公式也是这个想法而得来的其实这条公式也可以根据容斥原理的公式整理出，但是我发现整理后的精确度变小了，比如【100/3】-【100/6】=17，而直接【100/6】=16. 并不十分相等。请教如果在证明题中如何使用“放缩法”来解决这个不等的问题。另外，如果删除100000以内的 2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数、11的倍数... 以及形如3k+a、5k+b、7k+c、11k+d、...的数后 a b c d ...不等于零求剩下的数的个数，能否用公式 $100000 * 1/2 * 1/3 * 3/5 * 5/7 * 9/11 *...$ 来估算？如果可以，精确度又如何？是大于还是小于？

282842712474 · 发表于 2009-4-4 13:25:18

【a】表示整数部分

无心人 · 发表于 2009-4-4 13:43:56

1、只是看上去很美罢了计算复杂度是$O(sqrt(N))$ 目前估算素数的个数有更好的方法

282842712474 · 发表于 2009-4-4 14:29:26

我是问能与否，我并不是用来做实际计算，请帮忙解答，谢谢

282842712474 · 发表于 2009-4-4 14:35:33

顺便还请教更好的算法（不过先请帮忙回答下楼顶的问题）

无心人 · 发表于 2009-4-4 15:26:26

那是一个很常见的公式是可以计算的你搜索常见的数学手册都可以看到这个公式

282842712474 · 发表于 2009-4-4 15:37:09

那一开始的问题呢，还没有回答我呢，帮下忙啦

282842712474 · 发表于 2009-4-4 15:38:15

究竟此公式是否可以 $\pi (x) = x * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * ...$ 来估算不大于x的素数的个数？ $100000 * 1/2 * 1/3 * 3/5 * 5/7 * 9/11 *...$ 最主要是这一条如果能够精确证明这两条公式总是得到所求值（请看顶楼）的不足近似值。那么恭喜你，你将永远被载入数学史册，甚至比发现一个新的梅森素数还要棒！（这不是跟你开玩笑，不过由于我的阅历不足，你可别告诉我这两条公式很早就知道是正确的。如果是的话，那我就马上发表成果了。）

gxqcn · 发表于 2009-4-4 20:36:26

自己写段代码自己检验一下不就得了，犯得着“精确证明”。。。“不足近似”？

282842712474 · 发表于 2009-4-4 21:21:20

单靠检测不够说服力，应该需要严格证明。就像哥德巴赫猜想，尽管通过了很多验证，但是依然是猜想

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