求证几个数论问题

282842712474 · 发表于 2009-4-4 13:21:36

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1、能否使用公式

$\pi (x) = x * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * ...$

来估算不大于x的素数的个数？

如果可以，那么能否证明这条公式总是小于$\pi (x) $

我的想法是，由于合数是均衡分布的，因此，在小于x的整数中，奇数有x/2，剩下的数中，非3的倍数的数有$x/2 * 2/3$等等。

下面的公式也是这个想法而得来的

其实这条公式也可以根据容斥原理的公式整理出，但是我发现整理后的精确度变小了，比如【100/3】-【100/6】=17，而直接【100/6】=16.

并不十分相等。请教如果在证明题中如何使用“放缩法”来解决这个不等的问题。

另外，如果删除100000以内的

2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数、11的倍数... 以及
形如3k+a、5k+b、7k+c、11k+d、...的数后

a b c d ...不等于零

求剩下的数的个数，能否用公式

$100000 * 1/2 * 1/3 * 3/5 * 5/7 * 9/11 *...$

来估算？

如果可以，精确度又如何？是大于还是小于？

282842712474 · 发表于 2009-4-4 13:25:18

【a】表示整数部分

无心人 · 发表于 2009-4-4 13:43:56

1、只是看上去很美罢了
计算复杂度是$O(sqrt(N))$

目前估算素数的个数有更好的方法

282842712474 · 发表于 2009-4-4 14:29:26

我是问能与否，我并不是用来做实际计算，请帮忙解答，谢谢

282842712474 · 发表于 2009-4-4 14:35:33

顺便还请教更好的算法（不过先请帮忙回答下楼顶的问题）

无心人 · 发表于 2009-4-4 15:26:26

那是一个很常见的公式
是可以计算的

你搜索常见的数学手册都可以看到这个公式

282842712474 · 发表于 2009-4-4 15:37:09

那一开始的问题呢，还没有回答我呢，帮下忙啦

282842712474 · 发表于 2009-4-4 15:38:15

究竟此公式是否可以
$\pi (x) = x * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * ...$

来估算不大于x的素数的个数？

$100000 * 1/2 * 1/3 * 3/5 * 5/7 * 9/11 *...$
最主要是这一条

如果能够精确证明这两条公式总是得到所求值（请看顶楼）的不足近似值。
那么恭喜你，你将永远被载入数学史册，甚至比发现一个新的梅森素数还要棒！
（这不是跟你开玩笑，不过由于我的阅历不足，你可别告诉我这两条公式很早就知道是正确的。如果是的话，那我就马上发表成果了。）

gxqcn · 发表于 2009-4-4 20:36:26

自己写段代码自己检验一下不就得了，
犯得着“精确证明”。。。“不足近似”？

282842712474 · 发表于 2009-4-4 21:21:20

单靠检测不够说服力，应该需要严格证明。

就像哥德巴赫猜想，尽管通过了很多验证，但是依然是猜想

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