关于一元二次方程根的问题

0.1 · 发表于 2009-4-12 07:04:25

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求证：关于x的一元二次方程3x^2+2kx-k-1=0的两根中至少有一个是小于1的正数。

gxqcn · 发表于 2009-4-12 11:37:16

令 $f(x)=3x^2+2kx-k-1$，
则：$f(0)=-k-1,\quadf(1)=k+2,\quadf(1/2)=-1/4$
当 k<-1 时，f(0)>0，f(1/2)<0，原方程在(0,1/2)至少存在一根；
当 k>-2 时，f(1)>0，f(1/2)<0，原方程在(1/2,1)至少存在一根；
而 (-∞, -1)∪(-2, +∞)为整个实数集，
所以，无论k取何值，原方程在(0,1/2)或(1/2,1)至少存在一根，得证。

0.1 · 发表于 2009-4-12 12:25:38

谢谢！

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