觉得这个问题挺有意思的，大家来讨论吧。。。

zgg___

大家知道尺规作图是不可以三等分任意角的，于是就有了下面的问题： 使用直尺、圆规和三分器，可以做出那些正多边形？ 其中： 直尺和圆规和原来的尺规作图中的规定是一样的。 三分器的定义是：对于任意角度使用三分器可以得到这个角度的三等分直线。

mathe

其实这个问题不难，不过需要用域的理论来解决。 作出正k边形就是要在复平面上画出 exp(i*2*Pi/k) （已知点0和1） 而原先的尺规作图可以转化为：如果点x画出来了，那么点sqrt(x)也可以画出来。 当然如果任意一个点已经画出，那么它的任何有理数倍可以画出，还有倒数可以画出。 当然如果两个点作出来了，它们的和与积可以画出 （也就是所有可以尺规作图的点形成一个数域） 而现在添加了三等分，相当于如果x画出来了，那么x的立方根也可以画出来， 然后要求计算单位圆上哪些点在在这个域中。 其中的关键是讨论对于一个素数p,exp(i*2*Pi/p)是否在这个域中。 我们知道对于尺规作图的情况，要求素数p是费儿马素数，也就是phi(p)=p-1是2的幂 很显然，这里我们可以非常容易的猜测到，对于本题，要求phi(p)=p-1的所有素因子都是2或3。

mathe

呵呵，我也仅仅是猜测，没有去证明，群论的东西忘得差不多了

zgg___

思路的确如此。

liangbch

实数分为代数数和超越数，代数数可用尺规作图法做出来，而超越数则不能。 　　凡是边数为 2ⁿ, 3*2ⁿ, 5*2ⁿ 的正多边形 可用尺规作图法做出来，另外，边数为费尔马素数 也可用尺规作图法做出来。以下内容转自http://www.bjkp.gov.cn/kjqw/kjzz/k20628-02.htm 　　早在古代，就有人能用直尺和圆规作出正三角形、正方形和正五边形了。可是，利用尺规来作正七边形或正十一边形或正十三边形的任何尝试，却都是以失败而告终。 　　这种局面持续了2千多年，数学家们猜想，凡是边数为素数的正多边形（如正七、正十一、正十三边形等）看来用圆规和直尺是作不出来的。但是在1796年，完全出乎数学界的意料之外，19岁的德国青年数学家高斯找到了用圆规和直尺来作边数为素数的正十七边形的方法。这个成就是如此辉煌，不仅使数学界为之轰动，而且也促使高斯把数学选为自己的终身职业。 　　五年以后，高斯又进一步宣布了能否作任意正多边形的判据。他证明了下面的定理：凡是边数为“费尔马素数”（即边数是 2^{2^n}＋l 形状的数，而且还要是素数）的正多边形，就一定可以用尺规来作图。当n=2时，就是正十七边形；当n=3时，就是正二百五十七边形；当n=4时，就是正六万五千五百三十七边形……他还证明了，如果边数是素数，但不是费尔马素数的话（例如上面所提到过的正七边形，正十一边形等），那末这样的正多边形就不能用圆规和直尺来作出。 　　紧接在17以后的两个“费尔马素数”是257和65537。后来，数学家黎西罗果然给出了正二百五十七边形的完善作法，写满了整整80页纸。 　　另一位数学家盖尔美斯按照高斯的方法，得出了正六万五千五百三十七边形的尺规作图方法，他的手稿装满了整整一只手提皮箱，至今还保存在德国的著名学府哥庭根大学里。这道几何作图题的证明，可说是最为繁琐的了。

摘自《世界之最》

mathe

代数数可用尺规作图法做出来 -------------------------------------------------------- 这句话是错误的，如果这样，就可以三等分角了。

liangbch

to mathe, 是我错了，可做图的数域 是 代数数的一个子集。 应该是可做图的数都是代数数。

无心人

应该叫可解群吧

无心人

如果能三等分任意角 则可以转化成解三次方程 我想能作正七边形吧

mathe

原帖由 无心人 于 2009-1-8 20:59 发表 如果能三等分任意角 则可以转化成解三次方程 我想能作正七边形吧

的确如此