一数列求和公式

mat_hroo

$\sum_{}^{}{((-1)^n*(2n+1)^3)/((2n+1)^4+4)}$
。。

gxqcn

令 $x=2n+1$，

则 $x^4+4 = (x^4+4x^2+ 4) - 4x^2 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

　 $1/(x^2-2x+2) - 1/(x^2+2x+2) = (4x)/(x^4+4)$

　 $x^2/(x^2-2x+2) = 1 + (2x-2)/(x^2-2x+2)$，$x^2/(x^2+2x+2) = 1 - (2x+2)/(x^2+2x+2)$

故 $x^3/(x^4+4) = 1/4 (x^2/(x^2-2x+2) - x^2/(x^2+2x+2))$

　　　　$= 1/2 ((x-1)/(x^2-2x+2) + (x+1)/(x^2+2x+2))$

　　　　$= 1/2((x-1)/((x-1)^2+1) + (x+1)/((x+1)^2+1))$

余下的应该很简单了。

mat_hroo

噢 。。。厉害

winxos

原帖由 gxqcn 于 2009-4-30 08:01 发表
令 x=2n+1，

则 x^4+4 = (x^4+4x^2+ 4) - 4x^2 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

　 1/(x^2-2x+2) - 1/(x^2+2x+2) = (4x)/(x^4+4)

　 x^2/(x^2-2x+2) = 1 + (2x-2)/(x^2-2x+2)，x^2/(x^2+2x+2) = 1 - (2x+2)/(x^2+2x ...

佩服gxqcn这么多年了分析还这么熟练。

gxqcn

说多年，确实不算少，这里所用知识是二十多年前学的，
不过，那时东西学得扎实，基本可伴随一生，
再次见到还是具有一定的敏感性。

就题目来说，难度不大，技巧有点，很不错。