求证一个不等式

skyivben

证明：
$(n r-r-2)(1+r)^n+n r+r+2\ge 0$
这里 n 是正整数，r 是正实数。

谢谢！

skyivben

这个不等式来源于我在博客园中的一篇随笔“个人住房贷款计算器的数学原理”。
在该文中提到，个人住房贷款等本息法和等本金法应付的总利息差是:
$A(\frac{1+(nr-1)(1+r)^n}{(1+r)^n-1}-\frac{r(n+1)}{2})$
上面的算式中，贷款金额 A 和月利率 r 都是正实数，期数 n 是正整数。
而这个利息差应该是不小于零的。
经过化简，就得到了1楼的不等式。

mathe

证明不难
记
$f_n(r)=(nr-r-2)(1+r)^n+(n+1)r+2=(n-1)(1+r)^{n+1}-(n+1)(1+r)^n+(n+1)(r+1)-(n-1)$
那么$f_n(0)=0$
而
$f_n'(r)=(n^2-1)(1+r)^n-(n+1)n(1+r)^{n-1}+(n+1)=(n+1)((n-1)(1+r)^n-n(1+r)^{n-1}+1)$
由平均不等式可以得到在$n>=1,r>=-1$时有$(n-1)(1+r)^n-n(1+r)^{n-1}+1>=0$
所以我们得到$f_n'(r)>=0$,也就是在$n>=1,r>=-1$时$f_n(r)$单调增,由$f_n(0)=0$得到$r>=0$时$f_n(r)>=0$

mathe

现在考虑一下直接用初等方法来证明这个题目,我们知道
$x^{n+1}-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^n)$
所以
$f_n(r)=(n-1)(1+r)^{n+1}-(n+1)(1+r)^n+(n+1)(r+1)-(n-1)$
即
$f_n(r)=(n-1)*(1+r-1)(1+(1+r)+(1+r)^2+...+(1+r)^n)-(n+1)(1+r)(1+r-1)(1+(1+r)+...+(1+r)^{n-2})$
即
$f_n(r)=(n-1)r(1+(1+r)^n)-2r((1+r)+(1+r)^2+...+(1+r)^(n-1))$
由于
$(1+r)^n+1-(1+r)^{n-k}-(1+r)^k=((1+r)^{n-k}-1)((1+r)^k-1)>=0$
我们分别另k=1,2,...,n-1带入上面不等式,然后累加就可以得到$f_n(r)>=0$

skyivben

非常感谢 mathe 提供的证明。
我仔细研究一下该证明。
学习了。

zgg___

恩……
设不等式左面为f，
那么f的导数g1是(((n-1)r-1)(r+1)^(n-1)+1)(n+1)；
f的二阶导数g2是nr(n^2-1)(r+1)^(n-2);
可以看到g2总是大于等于0，所以g1是增函数；
g1(0)=0，故g1总是大于等于0，所以f是增函数；
f(0)=0，所以f总是大于等于0。

gxqcn

如果令 $t=r+1>1$，
则原不等式 $<=> (n(t-1))/(t+1) >= (t^n-1)/(t^n+1) \quad<=>\quad 1/(t+1) - 1/(t^n+1) <= (n-1)/2$，

不知上述变换是否有助于简化证明？

skyivben

谢谢!

已经按照你提供的证明方法，更新了我在博客园中的随笔“个人住房贷款计算器的数学原理”。

skyivben

十分感谢你的回复。