不定积分的近似计算

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考虑
\[f(x)=-\alpha\beta e^{-\alpha\beta x} x^{\beta} \int_0^x e^{\alpha\beta y} y^{-\beta}dy\]
求$f(x)$的一个初等近似表达式，当然，有级数更好。其中$\alpha,\beta$非负

这个表示式是方程
\[\frac{df}{dx}=-\beta\left[\alpha(1+f)-\frac{f}{x}\right]\]
的一个解。

有一个结果是$\beta \to \infty$时，有
$$f(x)\approx -\frac{\alpha x}{\alpha x-1}$$
但过程并不好看，大概的步骤是将$e^{\alpha\beta y}$展开成幂级数，完成积分
然后分析级数的每一项，用laplace方法的思想，找出级数的最大项，接着在最大项附近取对数展开成二阶，变求和为积分，从而得到一个阶的估计式。

所以想问一下，有没有更有启发性、更直接一点的思路？主要是想掌握分析的思路，例子本身也不大重要。

kastin

当 `\beta \to +\infty` 时，微分方程退化为代数方程，也能直接解得上面的结果。
由于`\beta<1` 时 `f(x)` 在零点有极限值为零，于是可分情况来讨论：
1) `\beta>1`
根据渐近结果可知，方程的解可以表示为\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u_k(x;\alpha)}{\beta^k}\tag{1}\]其中 `\D u_0(x;\alpha)=-\frac{\alpha x}{\alpha x-1}`. 将渐近级数 `(1)` 代入微分方程，对比`\beta` 的指数项可得 \[\begin{split}u_1(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x}{(\alpha  x-1)^3}\\
u_2(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x (2 \alpha  x+1)}{(\alpha  x-1)^5}\\u_3(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x \left(6 \alpha ^2 x^2+8 \alpha  x+1\right)}{(\alpha  x-1)^7}\\\cdots
\end{split}\]2) `\beta=1`
此时比较简单，直接求解微分方程即可\[f(x)=C x \mathrm{e}^{-\alpha x}-\alpha x \mathrm{e}^{-\alpha x} \text{Ei}(\alpha x)\tag{2}\]当 `0\leqslant \beta<1`时，同样的方式给出渐近级数\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}u_k(x;\alpha)\beta^k \tag{3}\]令 `\beta=0` 得到零阶近似 `u_0(x;\alpha)=\mathrm{const}`.
代入微分方程后得到\[\begin{split}u_1(x;\alpha)&=-2\alpha x+\ln x+C\\
u_2(x;\alpha)&=2\alpha^2 x-\alpha\ln x+\frac{\ln x}{x}+\frac{C}{x}-\alpha(2+C)\end{split}\\\cdots\]可以顺着这个思路下去

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我发现原来的计算跟我的理解有点出入，我先理解了再来继续讨论这个问题。

mathe

积分的内容可以表示为不完全$Gamma$函数:
https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function
$\gamma(s,x)=\int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}dt$