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[分享] 等幂和问题

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发表于 2008-2-4 00:12:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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文章来源:http://blog.cersp.com/userlog24/170245/archives/2008/740398.shtml
     http://www.baidu.com/search/baike_help.html
  数论中有许多题材使人沉湎其中,往往乐而忘返。所以,这门学科自古以来,就吸引着人们去探索。通俗性与公证性是数论的两大特点。这就是说,有些题目,虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥,可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样,有一种无形的吸引力,把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
  现在请看两组自然数,每组各有三个数,每个都是六位数字。把这两组数分别相加,就会发现它们的和是完全相等的,即:
  123789+561945+642864
  =242868+323787+761943
  这样的性质,自然算不上什么稀罕。可是,要知道它们各自的平方之和也是相等的,那就是说:
  123789×123789+561945×561945+642864×642864
  =242868×242868+323787×323787+761943×761943
  如果不信,请算一算吧!算过以后,你也许会伸伸舌头,说一声:“妙啊!”
  且慢,真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉,你会发现,对剩下的数来说,上述的奇妙关系仍然成立,即:
  23789+61945+42864=42868+23787+61943
  23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
  事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算,上述性质依然保存着:
  3789+1945+2864=2868+3787+1943
  3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
  现在,我们索性一不做、二不休,继续干下去了。
  我们发现,尽管每次抹掉最左边的一位数字,可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来:
  789+945+864=868+787+943
  789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
  89+45+64=68+87+43
  89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
  直到最后只剩下个位数,这一“性质”依旧“巍然不动”:
  9+5+4=8+7+3
  9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
  这就像“金蝉脱壳”一般,脱到最后一层,金蝉却还是货真价实的金蝉,其“个性”可谓“至死不变”矣。

  现在我们还是从原来的两组数出发,可是这一次却“反其道而行之”,即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
  经过这样的剧烈变动,这种性质总不见得保持下来了吧?可是,与人们预料的相反,这种性质居然还是保存了下来:
  12378+56194+64286=24286+32378+76194
  12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194
  ……
  直到最后抹得只剩下个位数时也是如此:
  1+5+6=2+3+7
  1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
  这类问题在数论上叫做“等幂和问题”,在国内外,它一直吸引着大批爱好者,但至今仍未能彻底解决。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-4 08:41:01 | 显示全部楼层
  这个问题早在20年前我就研究了。其实“金蝉脱壳”神秘面纱的本质是非常简单的:
    a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3
    a1 + b3 = a2 + b2 = a3 + b1
  只要每一个对应位上的数字满足该要求,则可以二次等幂和;由于符合上述规律的线性组合仍满足该规律,故仍可以二次等幂和,所以呈现出迷人的风采。当然,以上结论还可进一步推广。

  最初看到“金蝉脱壳”,是从同学那里借的《我们爱科学》杂志。当时正值中考,而我已提前拿到一中保送录取通知书,所以就琢磨了下。不想挖掘出了非常多有价值的结论,高中的老师建议我发表,但我认为在没有完全研究透彻前贸然公开是不明智的;后来在大学里学了线性代数后又进一步发展了理论,给中科院写过信,被转到应用数学研究所,得到了热情而肯定的答复,希望写成几篇论文发表。可惜,我认为这是个全新的系统,有数百条定理,想写成书发表,手稿就有好几大本;再后来,毕业了,为工作而劳累奔波,激情逐渐冷却,这些手稿只好静静地躺在我的皮箱里。。。

  如果对“等幂和”感兴趣,可到我的主页上浏览,里面全部是原创作品:http://eslp.emath.ac.cn/
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发表于 2008-2-4 08:58:14 | 显示全部楼层
呵呵,没有想到,还有这么有规律的结论
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2008-2-4 11:18:42 | 显示全部楼层
更没想到,gxqcn对其有过深入的研究,并取得了一系列的骄人成果
佩服,佩服
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2008-2-4 13:45:35 | 显示全部楼层
gxqcn
为工作而劳累奔波,激情逐渐冷却
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可惜了!
看来,我得先好好看看你的http://www.emath.ac.cn/florilegium/大作先,要不然好不容易找一篇值得欣赏的文章,别都是你十几年前研究过滴
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2009-6-23 15:24:21 | 显示全部楼层
呵,想不到全是数学高人哟,以后还需要好好学习了...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-3-1 21:59:41 | 显示全部楼层
请问版主您的Lu程序库有Linux版本的吗?C或C++语言的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-3-2 08:31:16 | 显示全部楼层
楼上这个问题好突兀啊!是不是跟错帖了?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2016-3-2 21:26:24 | 显示全部楼层
呵呵,是从五楼的链接看到的这个,http://www.forcal.net,感觉多目前在做的一个项目很有用。
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发表于 2016-3-3 08:11:30 | 显示全部楼层
那是网友的作品,大整数库调用了我的 HugeCalc,
一直想给他甚至为大家提供一个免费免注册的版本,
但因工作忙,业余时间不足等原因未能成行。
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