等幂和问题

kofeffect

文章来源：http://blog.cersp.com/userlog24/170245/archives/2008/740398.shtml
　　　　　http://www.baidu.com/search/baike_help.html
　　数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。通俗性与公证性是数论的两大特点。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
　　现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
　　123789+561945+642864
　　=242868+323787+761943
　　这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
　　123789×123789+561945×561945+642864×642864
　　=242868×242868+323787×323787+761943×761943
　　如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
　　且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
　　23789+61945+42864=42868+23787+61943
　　23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
　　事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着：
　　3789+1945+2864=2868+3787+1943
　　3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
　　现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。
　　我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
　　789+945+864=868+787+943
　　789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
　　89+45+64=68+87+43
　　89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
　　直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
　　9+5+4=8+7+3
　　9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
　　这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。

　　现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
　　经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
　　12378+56194+64286=24286+32378+76194
　　12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194
　　……
　　直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
　　1+5+6=2+3+7
　　1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
　　这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。

gxqcn

　　这个问题早在20年前我就研究了。其实“金蝉脱壳”神秘面纱的本质是非常简单的：
　　　　a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3
　　　　a1 + b3 = a2 + b2 = a3 + b1
　　只要每一个对应位上的数字满足该要求，则可以二次等幂和；由于符合上述规律的线性组合仍满足该规律，故仍可以二次等幂和，所以呈现出迷人的风采。当然，以上结论还可进一步推广。

　　最初看到“金蝉脱壳”，是从同学那里借的《我们爱科学》杂志。当时正值中考，而我已提前拿到一中保送录取通知书，所以就琢磨了下。不想挖掘出了非常多有价值的结论，高中的老师建议我发表，但我认为在没有完全研究透彻前贸然公开是不明智的；后来在大学里学了线性代数后又进一步发展了理论，给中科院写过信，被转到应用数学研究所，得到了热情而肯定的答复，希望写成几篇论文发表。可惜，我认为这是个全新的系统，有数百条定理，想写成书发表，手稿就有好几大本；再后来，毕业了，为工作而劳累奔波，激情逐渐冷却，这些手稿只好静静地躺在我的皮箱里。。。

　　如果对“等幂和”感兴趣，可到我的主页上浏览，里面全部是原创作品：http://eslp.emath.ac.cn/

mathe

呵呵，没有想到，还有这么有规律的结论

guetsxjm

更没想到，gxqcn对其有过深入的研究，并取得了一系列的骄人成果
佩服，佩服

kofeffect

gxqcn
为工作而劳累奔波，激情逐渐冷却
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可惜了！
看来，我得先好好看看你的http://www.emath.ac.cn/florilegium/大作先，要不然好不容易找一篇值得欣赏的文章，别都是你十几年前研究过滴 ！

数学星空

呵,想不到全是数学高人哟,以后还需要好好学习了...

yyy_fcz

请问版主您的Lu程序库有Linux版本的吗？C或C++语言的。

gxqcn

楼上这个问题好突兀啊！是不是跟错帖了？

yyy_fcz

呵呵，是从五楼的链接看到的这个，http://www.forcal.net，感觉多目前在做的一个项目很有用。

gxqcn

那是网友的作品，大整数库调用了我的 HugeCalc，
一直想给他甚至为大家提供一个免费免注册的版本，
但因工作忙，业余时间不足等原因未能成行。