Vietnamese Math& Youth Magazine

danghajdang · 发表于 2018-1-14 20:07:59

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给出三个非负数 \(a, b, c\)以及
\(a+ b+ c= 3\)
\(a^ 2+ b^ 2+ c^ 2= 5\)
证明：\(a^ 3 b+ b^ 3 c+ c^ 3 a\leq 8\)

.·.·. · 发表于 2018-1-16 15:11:17

a=3-b-c
(3-b-c)^2+b^2+c^2=5
不妨设a<b,解得b=1/2 (2 + (1 - c) + Sqrt[4 - 3 (1 - c)^2]),a=b=1/2 (2 + (1 - c) - Sqrt[4 - 3 (1 - c)^2])
从而a^3 b + b^3 c + c^3 a=1/2 (10 - 3 c^3 - 6 Sqrt[1 + 6 c - 3 c^2] - 9 c^2 (-1 + Sqrt[1 + 6 c - 3 c^2]) + 6 c (-1 + 3 Sqrt[1 + 6 c - 3 c^2]))
然后怎么处置就很随意了

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