$f(sin\frac{pi}{90})=0$,求证$f(sin\frac{pi}{36})+f(-sin\frac{pi}{36})=0$

lsr314

整系数不可约多项式$f(x)$满足$f(sin\frac{pi}{90})=0$，求证$f(sin\frac{pi}{36})+f(-sin\frac{pi}{36})=0$.

证明过程最好不要利用数学软件。

wayne

$sin\frac{pi}{90}$是整系数不可约多项式方程$f(x)$的根，则f(x)就是$sin\frac{pi}{90}$的最小多项式，即$f(x)=1 - 24*x - 144*x^2 + 248*x^3 + 1680*x^4 - 864*x^5 - 7168*x^6 + 1152*x^7 +  13824*x^8 - 512*x^9 - 12288*x^10 + 4096*x^12$
而$sin\frac{pi}{36}$的最小多项式是$1 - 144 x^2 + 1680 x^4 - 7168 x^6 + 13824 x^8 - 12288 x^10 + 4096 x^12 = 0$，得证．

mathe

我们首先可以将$sin(15x)$表示为$sin(x)$的15次多项式$f_15(x)$,也就是有$f_15(sin(x))=sin(15x)$
于是我们直到$sin(pi/90)$满足方程$f_15(x)=1/2$,但是满足这个方程的变量显然除了$sin(pi/90)$以外，$sin(pi/90+{2h\pi}/15)$也满足，其中h是任意整数,同样$sin({5\pi}/90+{2h\pi}/15)$等也满足，这些数值实际上只有15个不同的值。
而且其中h除以5余数2时对应的值比较特殊，显然可以有更小的最小多项式，余下主要问题是证明余下的12个不同的值构成的12次多项式是不可约的，这个基本上要依靠计算机来计算了

wayne

不用数学软件，也是可以的，接楼上mathe的帖子。多倍角的正弦公式，参考链接 http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html，奇数倍是切比雪夫多项式。参考http://mathworld.wolfram.com/Che ... oftheFirstKind.html

即$T_{15}(x) = 1/2$，对此进行因式分解。发现只有两个不可约的多项式

$T_{15}(x) - 1/2 = \frac{1}{2} (8 x^3-6 x-1) (4096 x^{12}-12288 x^{10}+512 x^9+13824 x^8-1152 x^7-7168 x^6+864 x^5+1680 x^4-248 x^3-144 x^2+24 x+1)$
第一个我们知道是$sin(\frac{5\pi}{6} /15) = sin(\pi/18)$,第二个就是 $sin(\frac{\pi}{6} /15) = sin(\pi/90)$了,跟2楼的也一致了

mathe

这个因式分解手工基本很难

wayne

mathe 发表于 2018-1-19 20:21
这个因式分解手工基本很难

一般情况确实比较难，但对于整系数，还是很方便的。我来演示一下具体细节。
首先，根据切比雪夫多项式的递推性质，$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$容易得到：$2T_{15}(x)-1 = -1 - 30 x + 1120 x^3 - 12096 x^5 + 57600 x^7 - 140800 x^9 +  184320 x^11 - 122880 x^13 + 32768 x^15$
然后，看最高次项，是$32768 = 2^15$，所以如果存在因式，则因式的首项系数一定是$1$或者$2$。
然后，再看最低次项，是 $-1$，所以，如果存在因式，则常项一定是$1$或者$-1$,
然后，$x$项系数一定是30的约数。
然后，如果存在因式，则至少存在一个因式，一定也缺失$x^2$项。
所以，第一批候选多项式就是$-1-ax+bx^3$,其中$a$是$30$的约数，$b$是$2$的幂

试除的过程应该是很快的，因为一旦出现问题，即可立马排除，终止运算。不用太多时间，可以得到$-1 - 6 x + 8 x^3$,剩下的就是$1 + 24 x - 144 x^2 - 248 x^3 + 1680 x^4 + 864 x^5 - 7168 x^6 -  1152 x^7 + 13824 x^8 + 512 x^9 - 12288 x^10 + 4096 x^12$

mathe

主要是分解以后还要证明余下的不可分解，计算量会很大

wayne

mathe 发表于 2018-1-20 12:13
主要是分解以后还要证明余下的不可分解，计算量会很大

^_^,确实是这样的。不过这个也不难。我们发现本例很特别，可以通过变量代换将方程的系数都变小一倍。做变换$x->x/2 $
$x^{15}-15 x^{13}+90 x^{11}-275 x^9+450 x^7-378 x^5+140 x^3-15 x-1  = (x^3-3 x-1) (x^{12}-12 x^{10}+x^9+54 x^8-9 x^7-112 x^6+27 x^5+105 x^4-31 x^3-36 x^2+12 x+1)$

系数瞬间变小，故技重施。可以很快得到因式的. $x^9$项的系数位1，可以确定不存在可约的多项式。

lsr314

wayne 发表于 2018-1-19 15:17
$sin\frac{pi}{90}$是整系数不可约多项式方程$f(x)$的根，则f(x)就是$sin\frac{pi}{90}$的最小多项式，即$f ...

这就是我提这个问题的由来了，我想问问有没有办法给出更多这样的例子，给出两个代数数，寻找他们的最小多项式的关系，这样的例子在三角函数里应该蛮多的。